由直线和圆相切的条件可得解得k=±
，
=1，
由y=x+，代入椭圆方程+=1，
解得x=﹣，y=﹣1． 可设M（﹣，﹣1）； 同理可得N（（，﹣1）， 即有直线MN：y=﹣1．
显然圆心O到直线MN的距离为1， 则直线MN和圆O相切．
19．（16分）（2016?镇江一模）已知数列{an}的各项都为自然数，前n项和为Sn，且存在整数λ，使得对任意正整数n都有Sn=（1+λ）an﹣λ恒成立．
（1）求λ值，使得数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）若数列{an}为等比数列，此时存在正整数k，当1≤k＜j时，有【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
ai=2016，求k．
【分析】（1）当λ≠0时，推导出a1=1，，从而{an}不可能是等差数列；
当λ=0时，推导出数列{an}为等差数列，数列{an}的通项公式为an=0． （2）由题意得a1=1，
，Sn=
，由此利用极限性质能
求出结果． 【解答】解：（1）①当λ≠0时，a1=S1=（1+λ）a1﹣λ， 解得a1=1，
an=Sn﹣Sn﹣1=（1+λ）（an﹣an﹣1）， 解得∵1+
，
≠1，∴λ≠0时，{an}不可能是等差数列．
②当λ=0时，an=Sn﹣Sn﹣1=an=an﹣an﹣1，n≥2， 解得an﹣1=0，
∴λ=0时，数列{an}为等差数列，数列{an}的通项公式为an=0． 综上：λ=0使得数列{an}为等差数列，数列{an}的通项公式为an=0． （2）由题意得an≠0，则λ≠0，∴a1=1，
，Sn=﹣λ[1﹣（1+
）]=
n
，
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∵当j→+∞时，1≤k＜j时，有
ai=2016，
为定值，
∴∴∴﹣1＜1+
=
=0，
＜1，解得λ＜﹣，
=﹣λ，
则Sk=λ[（1+解得k=
）﹣1]=﹣λ﹣2016，
．
k
20．（16分）（2016?镇江一模）已知函数f（x）=[ax﹣（2a+1）x+2a+1]e． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）设x＞0，2a∈[3，m+1]，f（x）≥b
2a﹣1
2x
恒成立，求正数b的范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】分类讨论；转化思想；综合法；导数的概念及应用． 【分析】（1）求导，对a分类讨论，利用导数即可得出其单调性； （2）由题意，将原式转化成2a﹣1≥b数
2a﹣1
恒成立，换元将2a﹣1=t∈[2，m]，构造辅助函
=g（t），求导，根据导数求得函数的单调区间，由函数g（2）=g（4），对m分类讨
论，根据对数函数的运算现在求得b的取值范围．
2xx
【解答】解：（1）f′（x）=（ax﹣x）e=x（ax﹣1）e．
x
当a=0，则f′（x）=﹣xe，令f′（x）＞0，则x＜0，令f′（x）＜0，则x＞0； 若a＜0，由f′（x）＞0，解得：＜x＜0，f′（x）＜0，解得：x＞0或x＜， 若a＞0，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜，f′（x）＜0，解得：x＞或x＜0， 综上可得：
当a=0时，函数f（x）的增区间为（﹣∞，0），减区间为（0，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的增区间为（，0），减区间为（0，+∞），（﹣∞，）； 当a＞0时，函数f（x）的增区间为（，+∞），（﹣∞，0），减区间为（0，）；
（2）f（x）≥b
2a﹣1
恒成立，f（）≥b
2a﹣1
恒成立，
∴≥b
2a﹣1
，即2a﹣1≥b
2a﹣1
恒成立，
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由2a∈[3，m+1]，令2a﹣1=t∈[2，m]，则t≥b， 所以lnb≤
=g（t），
t
由g′（t）=，g（t）在（0，e）上递增，（e，+∞）上递减，且g（2）=g（4），
当2＜m＜4时，g（t）min=g（2）=
，从而lnb≤，解得：0＜b＜；
当m＞4时，g（t）min=g（m）=故：当2＜m＜4时，0＜b＜当m＞4时，0＜b＜
．
；
，从而lnb≤，解得：0＜b＜，
[选修4-1：几何证明选讲] 21．（2016?镇江一模）在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P．求
2
证：AP?AN+BP?BM=AB．
【考点】与圆有关的比例线段． 【专题】证明题．
【分析】作PE⊥AB于E，先证明P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆，得到两对乘积式，后相加即可得到结论．
【解答】证明：作PE⊥AB于E∵AB为直径， ∴∠ANB=∠AMB=90°
∴P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆． AE?AB=AP?AN（1） BE?AB=BP?BM（2）
（1）+（2）得AB（AE+BE）=AP?AN+BP?BM
2
即AP?AN+BP?BM=AB
[选修4-2：矩阵与变换] 22．（2016?镇江一模）求矩阵
的特征值及对应的特征向量．
【考点】特征值与特征向量的计算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．
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【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量． 【解答】解：特征多项式f（λ）═由f（λ）=0，解得λ1=2，λ2=4（6分） 将λ1=2代入特征方程组，得?x+y=0，可取
=（λ﹣3）﹣1=λ﹣6λ+8（3分）
2
2
为属于特征值λ1=2的一个特征向量（8分）
同理，当λ2=4时，由
?x﹣y=0，
所以可取
为属于特征值λ2=4的一个特征向量．
有两个特征值λ1=2，λ2=4；
，属于λ1=4的一个特征向量为
．（10分）
综上所述，矩阵
属于λ1=2的一个特征向量为
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016?镇江一模）已知直线l的极坐标方程为程为
，曲线C的参数方
，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．
【考点】直线和圆的方程的应用；简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程． 【专题】计算题． 【分析】首先把直线和圆的极坐标方程利用两角差的正弦函数的公式代入x=ρcosθ，y=ρsinθ和化简为平面直角坐标系中的直线方程，利用三角函数的基本关系及
化简得到
圆的一般式方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后即可求出曲线上P到直线l的距离的最大值． 【解答】解：∴由
得x+y=4
2
2
∴圆心到直线l的距离
所以，P到直线l的距离的最大值为d+r=5??
[选修4-5：不等式选讲]
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24．（2016?镇江一模）设x，y均为正数，且x＞y，求证：x+【考点】基本不等式；三角函数恒等式的证明． 【专题】转化思想；综合法；不等式． 【分析】根据基本不等式的性质证明即可．
≥y+3．
【解答】证明：x﹣y+=（x﹣y）+（3分）
=++，（5分）
因为x＞y，x﹣y＞0， 所以
+
+
≥3
=3，
当且仅当==取等号，
此时x﹣y=2．（10分）
25．（2016?镇江一模）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1． （1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值； （2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离． 【专题】计算题． 【分析】（1）以以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则我们易求出已知中，各点的
坐标，进而求出向量得到答案．
，的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可
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