言
在现在数学中，竞赛已经是必不可少的一部分。竞赛问题源于课本，却远远高于课本。数学竞赛是才智的角逐，因而数学竞赛试题应该有最大的灵活性，让学生的才智充分发挥出来。学生应该自己去体会数学认知的过程，既自己去探索，尝试，通过管擦，发现，归纳，猜想，最后给出逻辑证明。因此，归纳法是贯穿竞赛中的核心思想，发现规律，归纳规律，猜想结论，证明结论。而在竞赛中，同学们在处理一些竞赛题中，题目很简单，看起来就是普通的数学题，但是就往往不知道从何入题。当我们深刻分析某些题目时候，它们之间好像存在某些规律。这时我们就可以采用归纳法来验证我们的猜想。归纳是一种推理，推理过程是～个思维过程。归纳作为一个思维的特殊形式或过程有其特点，与同样作为一种思维过程的演绎相对。数学中一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法，是通过有限次的验证、假设和论证来代替无限次的事例的验证，从而达到严格证明命题的目的，也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上证明这一规律的一般性。在利用数学归
纳法时, 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值, 再用数学归纳法给出猜想的证明. 因此, 数学归纳法一般是用来证明行列式等式. 除此以外, 如果对于比较复杂的行列式, 且与自然数有关, 我们可以先求几个特殊的, 然后通过特殊寻找一般的规律, 找出通式。在用数学归纳法证明。
在前人的研究中，只给出了归纳法的概念，证明过程，但是在竞赛中的应用并没有过多的涉及。这方面应该是一个欠缺。因此，本人的研究有十分重要的价值。
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正文
在竞赛中，常用归纳法有，第一归纳法，第二归纳法，和连续归纳法。下面我们就针对这三种归纳法在竞赛中的应用进行讨论。 (一) 第一数学归纳法
设有一个与自然数n 有关的命题P (n) , 如果满足: (1) 当n = (∈N ,≥1) 时, P ( n)成立;
(2) 假设n = k (k∈N , k≥) 时, P (n)成立, 则n = k + 1 时 P(n)也成立;
那么命题P (n) 对于n ≥n0 的所有自然数n都成立。 为了证明这个定理, 首先引进自然数序数理 论中匹阿诺公理第四条:
设自然数集合N 的一个子集M, 满足条件: 1 1 ∈M; ○
2 若a ∈M, 则a 的直接后继a′∈M; ○
那么, M就含有所有自然数, 即M= N 下面我们对数学归纳法原理进行证明。 证明: 设P (n) 是依赖于自然数n 的一个命
题, M是使命题P (n) 成立的那些自然数的集
合。于是由数学归纳法条件(1) , n = 时, P ( n) 成立, 故∈M, ( ≥1)
由数学归纳法条件(2) ,假设n=K时P(n) 成立, 推得n = k + 1 时, P(n)成立, 故知一旦K∈M, K的直接后经为k′∈M。
由此可知, 使命题P (n) 成立的自然数集合M满足匹诺公理四的两个条件, 所以 例：
1999年全国初中数学竞赛最后一道题：有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法(第一次可以是加法也可以是乘法)．每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次酶运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：1481030 (1)证明：可以得到22； (2)证明：可以得到÷证明：(1)易证． (2) 1
一2；
32-23-43-23-43-2??(不断乘以
2
2，再如2)3-43-1+-3+-1+
+-2.
观察结论+学归纳法证明：
(1) 当n=1时，
-2式，不妨猜想：也可以得到-2(nN).以下用数
+-2=16.168631（逆推法)所以得到16．
+
-2. 即(逆推)
-43+-1-2
++
-2-2?? -33
-13
-+
-
(2) 假设n=k时，可以得到
1+-33
+
-23
-13-2-43
那么，43
由假设知，可以得3-2，，故当n=+1时，亦可得到+-2
由(1)，(2)知，对予自然数n任意取值，都可以从l开始交错地做加法或乘法得到：+-2 ，从而猜想得到证明． 结论：
第一归纳法，是最常用的归纳法。由本题可得，在竞赛中，适合处理有明确规律的问题。先求出特殊的几项，然后由特殊总结出规律。在进行证明。如数列问题，不等式问题，一些有明显规律的问题，有结论的问题。
运用第一归纳法的常用技巧
证:若P(k)成立，则P(k+I)成立”这一步骤时．必须用到P(k)成立这个归纳 假设，是完成数学归纳法的难点所在．也是关键的一步，同学们运用数学归纳法证题的困难往往也是出自这第二步。就这类题介绍以下一些常用的技巧和方法。
（-）加项法
如果命题为一串等式之和。设P(k)成立．赛证P(n1)成立时．往往采用在 等式两边加项的方法． （二)相减法
对于命艇为一串和式．即“=+ +……. ”。在第二步的证明中，除采用加项法外．有时可用两个相邻命题的方法。即证明-= (三)添因式式法
如果命题为一串因式之积的形式。可以在假设n=k时成立的等式两边都添 因式的方法来证明n=k+l时等式成立- （四）列项法
为了证明n=k+1时等式成立，可设法把n=k+1时命题形式分裂为若干项， 再利用归纳假设。
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(五)放缩法
有关不等式的证明间题，常用放缩法达到证明的目的．这也是竞赛中 常用的证题技巧。 (六)辅助公式法
对于有些数学命题的证明，有时要先证明一个辅助等式或辅助不等式。再 以辅助公式为工具，达到证题的目的。
(二) 第二数学归纳法
设p( n) 是一个含有自然数n 的命题, 如果： （1) P( 1) 成立;
（2) 设P(m) 对于所有适合m 设M是自然数集的任一非空子集, 则必存在一个自然数m∈M, 使对一切n∈M, 都有m≤n。 这个原理即是说自然数集N 的任一非空子集M都有最小数。 这一命题的正确性, 似乎是十分明确的, 而且容易为人们所接受 而毫不怀疑, 以致可以把它看成公理, 称为最小数原理。 证明： 假设P( n) 不对所有自然数成立, 那么使得P( n) 不成立的 一切自然数的集合A 不是空集, 依最小数原理, A 中必含有最小数a, 依1) , P( 1) 成立, 所以, 1%A, 即a>1, 这样, 对于所有适合1≤m 分析:这个行列式如果直接计算很困难, 也很难发现什么规律. 但是如果先从特殊情况入手 就容易发现规律. 当n = 3 时, = 4 = ==2 这里利用了范德蒙行列式的计算公式. 当n = 4 时: == == 下面用第二数学归纳法证明. 证明 当n = 3 时, 已证, 原等式成立. 假设3 n k( k3) 时, 原等式成立, 下证n = k+ 1 时也成立 = 将行列式的第k - 1 行加到第k+ 1 行, 再将第k 行的- 2cos加到第k + 1 行. 然后将第k - 2 行加到第k 行, 将第k- 1 行的-2cos 倍加到第k 行, 依此类推, 得到; = 5