由假设得：
)
从而有：
=
?()=
)
)
所以猜想成立。
第二数学归纳法，与第一数学归纳法有所不同，由第二归纳法的特殊行知。第二种归纳法更有利于证明不等式和题目中有明显范围成立的问题。又从本题可知，在处理问题中，并不是所有问题开始就可以使用归纳法，而是在中间的某个重要环节使用。 (三)连续归纳法
定理1.设P(x)是定义在（a,b）内的命题函数，如果： 1 有某个实数○（a,b）,使对一切满足a（ 2 若对一切满足a 对一切满足a >0,使P(x) 那么，对一切x(a,b)有P（x）成立。 定理2. 设P(x)是定义在（a,b）内的命题函数，如果： 1 有某个（,）（a,b）,使对一切x（,）有P(x)成立； ○ 2 若对一切x○（a,b）,有P（x）成立，则有<,>, 使对一切x（,）（a,b）有P(x)成立； 那么，对一切x(a,b)有P（x）成立。 例：如果对任意x , y 有| f ( x ) - f ( y) | K , 其中K 是正的常数, 则函数f ( x ) 是常数 证明： 任取< , 只要证f () = f () . 为此作函数 6 F(x)= 则任意x , y 有| F ( x ) - F( y ) | K 反证法, 设| f () - f () | = M> 0 构造命题P ( x ) : | F ( x ) - F () | ， 于是 ○1--- 取= , 则x < 时, P ( x ) 显然成立. ○2---- 假设对一切x < y 有P ( x ) 成立, 由于| F ( x ) - F ( y ) | K 时, , 所以0 K | x- y | , 所以当 y 0,于是存在> 0, 使得对一切x( y-, y+ ) ---------○3 有| F ( x ) - F () | 又由归纳假设, 对一切z < y , 有| F ( z ) - F () | --------------- ○4 此式两端令z 趋于y 得| F ( y ) - F () | -------------------○5 由○3 与○5可知, 当x [ y , y+] 时有| F ( x ) - F() | = 亦即对一切x < y+有P( x ) 成立. 由连续归纳法, P( x )对一切x 成立。取x= 时得| f () - f () |与反证法假设矛盾。 例3 设f(x)在(a,b)上右倒数存在,求证; , 1 若○+(x)>0,则f(x)在(a,b)上严格增加 2若○+(x)0, 则f(x)在(a,b)上一定是常数 证明: 1.只要证明f(x) f(x)在(a,b)上严格增,由连续性可得f(x)在(a,b)上严格增加， 反证法，若不存在,(a,b),<,使得f()f(),构造命题P（x）： 7 f(x)> f(), 1,由于□ +()>0，既 (, + )时有 >0，所以存在 >0,于是f(x)> f()。 取=+,则P（x）对x(,)成立。 2．若P（x）对x(,)成立(如果y>b,则命题成立，因此设yb),我们断言f(y)必为f(x)在(,y)上的最大值。事实上，若存在(,) 使f()为f(x)在(,y)上的最大值，则由于x(, )时， +()>0，可得存在 >0，当 >0,所以f(x)> f(),这与f()最大矛盾， 于是f(y)>f(,又+()>0，故存在>0，当x(,)时，f(x)> f(y)> f(,所以P（x）对x(,)成立。由定理1，P（x）对一切 (,)成立，因为(,)，所以f(>f()与f()f(矛盾。 （2）只要正f(x)在(a,b)上为常数在由连续性可得f(x)在（a,b）上为常数，反证法，若不然，存在，(,),f(v 设=M>0.构造命题： P（x）：1 由于 +()= . =0，所以存在 ,既P（x）对x(, )成立. +()= -------○1 ，此式两端 =0,则 当x(, )时， 2 若P（x）对一切满足 )时，有 又由归纳假设，对一切 2两式可知当x(,由○1，○ 2 ----------------○ )时，有=, 即对一切 )成立，取x=时得， ，与反 由定理1，P(x)对一切x( 正法假设相矛盾。 连续归纳法的理论基础是实数连续性定理。作为一种证明方法，实数的连续归 8 纳法同自然数的数学归纳法一样是极为有用的。使用连续归纳法可以反复使用同一个模式证明多个命题。连续归纳法适合解决竞赛中极限，积分等连续区间问题 常见的错误分析； 1． 忽视对起始命题的验算 一般说来，学生应用递推根据由命题P(k)成立，推导命题P(k+1)是一个难点，往往比较重视，但对验算起始命题却易忽视． 2曲解归纳定义 在数学归纳法证明中，常见的曲解定义错误表现有两种，其一是认为归纳奠基步骤n=中的“”就是1；其二是对用和式表示的命题，认为当n=k+1时就是把n=k时的和式再加上一项． 3循环论证的错误 在同一证明过程中，把有待确定其真实性的命题结论作为证明的论据使用，就犯了循环论证的错误，这种错误在使用数学归纳法验证递推关系式时经常见到． 4对归纳步骤形式的套用 在数学归纳法证明中常见在形式上套用其格式和步骤，而实质上并没有使用数学归纳法的原理，最典型的表现是在证明n=k+1也成立时，不使用归纳假设的条件或假设条件不充分． 结束语 总之,数学归纳法的应用比较广泛,可以讲凡是关系到自然数的结论都可以用它来验。证归纳法，作为竞赛中的一种重要方法，我们必须熟练掌握其证明问题的核心思想及步骤，发现规律，归纳规律，猜想结论，证明结论，由特殊性来扩张到一般性。但是，要谨记，归纳法只是一种方法，在处理问题中，不可盲目使用 9 参考文献 [1] 陈传理 张同君.竞赛数学教程[M]。高等教育出版社 [2] 张国才 连续归纳法的综合应用[J].牡丹江师范学院学报。2001.4 [3] 张国才 王恕达.连续归纳法在微分学中的应用[J].台州学院学报。2003.12 [4] 肖业亮 刘会民. 浅谈数学归纳法在解题中的应用[J].高等数学研究。2009.9.4 [5] 马晓虎 冯国勇. 浅谈一个代数不等式的证明及应用[J].河西学院学报。2010.5.26 [6] 李宗俊. 数学归纳法的本质.[J]. 宜宾师范高等专科学校学报.2001.6 [7] 陈为华. 最小数原理.[J] 高校讲台2007年第34期。 2007,。4 [8] 张艳丽。谈归纳原理和数学归纳法[J]. 衡水师专学报. 2002 4. 4 [9] 汪正东 用数学归纳法推广一道竞赛题的结论[J].数学通报2001年第4期。2010.4 [10]郭芙蓉 归纳法不等于归纳推理[J]. 赣南师范学院学报.2001.10.5 10