????????
∴=，即DE?CE=AE?BE， ????????
如图，连接OC，
设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，
则DE?CE=AE?BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，
=???? ， ∵????
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2， 则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2， ∴BC2﹣CE2=DE?CE；
（3）∵OA=4， ∴OB=OC=OA=4， ∴BC= ????2+????2=4 2， 又∵E是半径OA的中点， ∴AE=OE=2，
则CE= ????2+????2= 42+22=2 5， ∵BC2﹣CE2=DE?CE，
∴（4 2）2﹣（2 5）2=DE?2 5，
6 5解得：DE=．
5
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、
圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
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26．（10分）（2018?娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值； ②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题． 【专题】537：函数的综合应用．
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；
（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△BDF=﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； ②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，则∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c， ??=?1?????+??=0
9??+3??+??=0，解得： ??=2，
??=3??=3
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∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3． ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）．
（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示． 设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，
3??+??=0，解得： ??=?2，
??+??=4??=6
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6． ∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3）， ∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），
∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3，
∴S△BDF=FM?（yB﹣yD）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1．
2∵﹣1＜0，
∴当x=2时，S△BDF取最大值，最大值为1．
②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示． ∵EF1∥BD， ∴∠AEF1=∠DBE． ∵ON=ON′，EO⊥NN′， ∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．
∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0）， ∴点E的坐标为（1，0）．
设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1， 将E（1，0）代入y=﹣2x+b1， ﹣2+b1=0，解得：b1=2，
∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2．
??=?2??+2， 联立直线EF1、抛物线解析式成方程组， 2??=???+2??+3解得：
1
??1=2? 5??2=2+ 5， （舍去），
??1=25?2??2=?25?2
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∴点F1的坐标为（2﹣ 5，2 5﹣2）． 当x=0时，y=﹣2x+2=2， ∴点N的坐标为（0，2）， ∴点N′的坐标为（0，﹣2）．
同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2． 联立直线EF2、抛物线解析式成方程组， ??=2???2??=???2+2??+3， 解得：
??1=? 5???2， ??2= 5??（舍去），
2=?2 52=2 5?2
∴点F2的坐标为（﹣ 5，﹣2 5﹣2）．
综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣ 5，2 5﹣2）或（﹣ 5，﹣2 5﹣2）．
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【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、三角形的面积、平行线的性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）①根据三角形的面积公式找出S△BDF=﹣x2+4x﹣3；②联立直线与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点F的坐标．
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