综合检测(二) 第二章 圆锥曲线与方程
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·青岛高二检测)椭圆2x2＋3y2＝6的长轴长是( ) A.3 C．22
B.2 D．23
x2y2
【解析】 椭圆方程可化为3＋2＝1，∴a2＝3，a＝3，2a＝23. 【答案】 D
2．(2013·大连高二检测)θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )
A．椭圆 C．抛物线
【解析】 由sin θ∈[－1,1]，
∴当sin θ＝1时，表示圆；当sin θ∈[－1,0)表示双曲线； 当sin θ∈(0,1]时表示椭圆；sin θ＝0表示两条直线． 【答案】 C
33．(2013·吉林高二检测)已知双曲线的渐近线方程为y＝±4x，则双曲线的离心率为( )
5A. 455C.4或3
57B.或 3665D.5或4
b251＋a2＝4；
B．双曲线 D．圆
b3c
【解析】 当双曲线的焦点在x轴上时，a＝4，所以e＝a＝b4
当焦点在y轴上时，a＝3，所以e＝
【答案】 C
b25551＋a2＝3，所以e＝4或3.
x2y2x2y2
4．若椭圆25＋16＝1与双曲线a2－5＝1有共同的焦点，且a＞0，则a为( ) A．2 C.46
B.14 D．6
【解析】 依题意25－16＝a2＋5，∴a2＝4. 又a＞0，∴a＝2. 【答案】 A
5．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为( )
A．64 C．16
B．32 D．4
1
【解析】 设OM的斜率为k，则ON的斜率为－k，从而直线OM∶y＝kx，
2
?y＝4x，4
联立方程?解得M的横坐标x1＝k2，同理得N的横坐标x2＝4k2，∴x1x2
?y＝kx，
＝16.
【答案】 C
6．一动圆的圆心在抛物线x2＝8y上，且该动圆恒与直线y＋2＝0相切，则动圆必经过的定点为( )
A．(0,2) C．(1,0)
B．(2,0) D．(0,1)
【解析】 由x2＝8y知，焦点F(0,2)，准线y＝－2， 依题意和抛物线的定义，圆必过焦点(0,2)． 【答案】 A
x2y2x2y2
7．(2013·石家庄高二检测)设k＜3，k≠0，则二次曲线－＝1与5＋2＝
3－kk1必有( )
A．不同的顶点 C．相同的焦点
B．不同的准线 D．相同的离心率
【解析】 当0＜k＜3时，0＜3－k＜3.
x2y2∴－k＝1表示实轴为x轴的双曲线，a2＋b2＝3＝c2. 3－k∴两曲线有相同焦点；
当k＜0时，－k＞0且3－k＞－k， x2y2∴＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆． 3－k－ka2＝3－k，b2＝－k.∴a2－b2＝3＝c2. 与已知椭圆有相同焦点． 【答案】 C
8．(2013·岳阳高二检测)已知动点P到两定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离之和为23λ(λ≥1)，则点P轨迹的离心率的取值范围为( )
3
A．[3，1) 3
C．(0，3]
33B．(3，2] 3
D．(3，1)
【解析】 由题意，|PF1|＋|PF2|＝23λ＞2＝|F1F2|，所以点P的轨迹是椭圆，其中a＝3λ，c＝1.故e＝
【答案】 C
x2y2
9．AB为过椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的中心的弦，F1为一个焦点，则△ABF1的最大面积是(c为半焦距)( )
A．ac C．bc
B．ab D．b2
113≤，∴e∈(0，3]． 3λ3
【解析】 △ABF1的面积为c·|yA|，因此当|yA|最大时，即|yA|＝b时，△ABF1的面积最大，最大值为bc.
【答案】 C
x2y2π
10．双曲线a2－2＝1(a＞2)的两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为
( )
23A.3 C.3
26B.3 D．2
2π
【解析】 如图，双曲线的渐近线方程为：y＝±ax，若∠AOB＝3，则θ＝π23，tan θ＝＝6a3，∴a＝6＞2.又∵c＝6＋2＝22，
c2223
∴e＝a＝＝3. 6【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
x2
11．抛物线y＝a(a≠0)的准线方程为________． x2
【解析】 ∵y＝a，∴x2＝ay，焦点在y轴上． pa
∴2p＝a，∴2＝4. a
准线方程为：y＝－4. a
【答案】 y＝－4 12．(2013·厦门高二检测)以抛物线y2＝83x的焦点F为右焦点，且两条渐近线是x±3y＝0的双曲线方程为________．
【解析】 抛物线y2＝83x的焦点F(23，0)，设双曲线方程为x2－3y2＝λ，4λx2y22
3＝(23)，∴λ＝9，故双曲线的方程为9－3＝1.
x2y2
【答案】 9－3＝1
13．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点Bsin A＋sin Cx2y2
在椭圆25＋9＝1上，则＝________.
sin B
【解析】 设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
sin A＋sin Ca＋c
＝b. sin B
∵A(－4,0)，C(4,0)，∴b＝8， x2y2
又∵点B在椭圆25＋9＝1上， ∴|BA|＋|BC|＝10＝a＋c， a＋c105∴b＝8＝4. 5
【答案】 4
x2y2
14．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的
5－mm2－2m－3取值范围为________．
【解析】 由焦点在y轴上的双曲线的方程可知，满足题意的m需满足 ?5－m＜0?2解得m＞5. ?m－2m－3＞0，
故实数的取值范围为(5，＋∞)．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
x2y2
15．(本小题满分12分)点A，B分别是椭圆36＋20＝1的长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.求点P的坐标．
【解】 由已知可得点A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，→→
则AP＝(x＋6，y)，FP＝(x－4，y)，
x2y2??＋＝1，∴?3620???x＋6??x－4?＋y2＝0，
3
解得x＝2或x＝－6.
353
由于y＞0，所以x＝2，于是y＝2， 353
所以点P的坐标是(2，2)．
16．(本小题满分12分)(2013·宁波高二检测)已知椭圆的中心在原点，焦点为22F1(0，－22)，F2(0,22)，且离心率e＝3. (1)求椭圆的方程；