(2)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的1
横坐标为－2，求直线l斜率的取值范围．
y2x2c22
【解】 (1)设椭圆方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)，由已知c＝22，又a＝3，解得a＝3，所以b＝1，
y22
故所求方程为9＋x＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋t(k≠0)，代入椭圆方程整理得(k2＋9)x2＋2ktx＋t2－9＝0，
由题意得
222
?Δ＝?2kt?－4?k＋9??t－9?＞0，??2kt
－2＝－1，??k＋9
解得k＞3或k＜－3.
即直线l斜率的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
x2y217．(本小题满分12分)(2013·太原高二检测)已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的2
离心率为2，右焦点为F(1,0)．
(1)求此椭圆的标准方程；
π
(2)若过点F且倾斜角为4的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值． c2
【解】 (1)由题意知a＝2且c＝1. ∴a＝2，b＝a2－c2＝1. x22
故椭圆的标准方程为2＋y＝1. x22
(2)由(1)知，椭圆方程为2＋y＝1，
π
又直线过点F(1,0)，且倾斜角为4，斜率k＝1. ∴直线的方程为y＝x－1. 由①，②联立，得3x2－4x＝0，
② ①
4
解之得x1＝0，x2＝3. 44
故|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝2|0－3|＝32.
x22
18．(本小题满分14分)设F1、F2分别是椭圆4＋y＝1的左、右焦点． →→
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值；
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
【解】 (1)易知a＝2，b＝1，c＝3， 所以F1(－3，0)，F2(3，0)． 设P(x，y)，则
→→PF1·PF2＝(－3－x，－y)·(3－x，－y) x21
＝x＋y－3＝x＋1－4－3＝4(3x2－8)．
2
2
2
因为x∈[－2,2]，故当x＝0，
→→
即点P为椭圆短轴端点时，PF1·PF2有最小值－2； →→当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1·PF2有最大值1. (2)显然直线x＝0不满足题设条件，可设直线l： y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)． y＝kx＋2，??
联立?x22
＋y＝1，??4
1
消去y，整理得(k2＋4)x2＋4kx＋3＝0. 所以x1＋x2＝－
1，x1x2＝21. 2
k＋4k＋41
由Δ＝(4k)2－4(k2＋4)×3＝4k2－3＞0， 33
得k＞2或k＜－2，
①
4k
3
→→
又0°＜∠AOB＜90°?cos∠AOB＞0?OA·OB＞0. →→所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＞0. 又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2) ＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 ＝3k2＋－8k2＋4＝－k2＋1， k2＋1k2＋12144k＋43－k2所以＋＋1＞0，即k2＋11k2＜4，
4k2＋4
所以－2＜k＜2.
故由①、②得直线l的斜率k的取值范围为(－2，－②
3∪(3
2)2，2)．