试证明{Xn}服从大数定律.
?n(X,?,X)是?的一个估计量，若七、（10分） 设X1,X2,?,Xn是来自总体F(x,?)的一个样本，?1n?n???k,D??n??且limk?lim??0 E?nnnn22n??n???n是?的相合（一致）估计量。 试证?
八、（10分）某种零件的尺寸标准差为σ=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：x=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（??0.05）.正态分布表如下
x 0 1.56 1.96 2.33 3.1
Ф(x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999
《概率论与数理统计》试题（6）评分标准
一 ⑴ √；⑵ ×；⑶ ×；⑷ ×；⑸ √。
二解 设A?‘任取一枚硬币掷r次得r个国徽’， B?‘任取一枚硬币是正品’， 则
所求概率为
P(B|A)?P(B)P(A|B)P(B)P(A|B?)?1???m?n?2?mrr
B，A----------------------------------------------------------5分
A?BA?
P(B)P(A|B)mm?n?2rm ??.------------------10分
n?1????m?n?2?m?n
三 解 设A?‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。
a ?为针与平行线的夹角，则 a 0?x?a2,0????，不等式确定了平面上
x 的一个区域S.------------------------------------6分
a L 2 A发生?x?sin?，
l 2x?sin?S 2A 0? ? 不等式确定S的子域A------------------------10分
1a2 故 P(A)????0L2sin?d??2La?
-----------------------------------------------------15分
四 解 X~B(3,即
X25kk3?k，分布律为)P(X?k)?C3()()2355k?0,1,2,3.
027125154125x?0,0?x?1,2361253
P-----------------------5分 8125X的分布函数为
?0,?27?,?125??81 F(x)??,?125?117,?125???1,5472 EX???1251251?x?2,------------------有所不同-----------------10分 2?x?3,x?3.241506??---------------------------------------------------15分 1251255
五． 解 (X,Y)的密度为
?1,? f(x,y)???r2?0,?x?y?r,其他.222-------------------------------------------3分
（1）EX?2??2x?21x?y?r?r1r?22dxdy??2?0?r0?cos??1?r2?d?d?
?sin? EXY?22?0??2r02?d?? 0??1xy?21xrdxdy?12?r32x?y?r2?2?0sin2?d??r03?d?
?4?r2[?cos?202??0]?d?? 0r 故 X,Y的相关系数??0.----------------------------------------------------------9分 （2）关于X的边缘密度为 fX(x)?22r?x1?dy,|x|?r,???r2?x22?r f(x,y)dy???0,|x|?r,???????2r2?x2?,2 ???r??0,|x|?r,|x|?r.
关于Y的边缘密度的
?2r2?y2?,2 fY(y)???r??0,|y|?r,|y|?r.
因为f(x,y)?fX(x)?fY(y)，所以X,Y不独立.------------------------------------15分
六 证：由契贝晓夫不等式，对任意的??0有
D(1n?1 P??nn?i?1Xi?1n?ni?1EXi???????n?i?12Xi)?1n2nD(?Xi)i?1?2---------5分
所以对任意的??0 ?1 limP?n???nn?Xi?1i?1niEX?ni?1n?11????2lim2D(?Xi)?0
n??ni?1??故{Xn}服从大数定律。----------------------------------------------------------------------10分 七 证 由契贝晓夫不等式，对任意的??0有
?nD?? P(|?n???kn?-------------------------------------------------------5分 |??)2??于是 0?limP?(n|???kn??|?)n???n?2n??lim? 0?n依概率收敛于?，故??n是?的相合估计。--------------------------------------10分 即 ?
八 解 问题是在?2已知的条件下检验假设H0：?0=26 查正态分布表，1－
?2=0.975,
?1??2=1.96---------------5分
1u1=1.08＜1.96,
应当接受H0，即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。---------------15分
模拟试题A
一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶 3 发，事件
表示“击中 i 发” ， i = 0， 1， 2， 3。 那么事 件
表 示 ( )。
( A ) 全 部 击 中 ； ( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必 然 击 中； ( D ) 击 中 3 发
2.设离散型随机变量 x 的分布律为 ( A )
； ( B )
； (C)
； (D)
则 常 数 A 应 为 ( )。
3.设随机变量 ，服从二项分布 B ( n，p )，其中 0 < p < 1 ， n = 1， 2,?， 那么，对于任一实数 x ，有
等 于 ( )。
( A ) ; ( B ) ;
( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分）
1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知 P(AB) =__________ 2.设
且 有
=___________。
, ,则
3.某柜台有4个服务员 ，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为 ，则4人中至多1
人需用台秤的概率为 ： __________________。
4.从1，2，?，10共十个数字中任取一个 ，然后放回 ，先后取出5个数字 ，则所得5个数字全不 相同的事件的概率等于 ___________。 三、（10分）已知
， 求证
四、（10分）5个零件中有一个次品 ，从中一个个取出进行检查 ，检查后不放回 。直到查到 次品时为止 ，用x表示检查次数 ，求
的分布函数 ：
五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10% ,瘦者患高血压病的概率为5%, 试求 ： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率;
( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？
六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量
和
，其概率密度分别是 ：
如果
与
相互独立，写出
的联合概率密度，并求下列事件的概率:
( 1 ) 到时刻 ( 2 ) 到时刻 ( 3 ) 在时刻
两家的元件都失效(记为A)， 两家的元件都未失效(记为 B)， 至少有一家元件还在工作(记为 D)。
七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过 八、（10分）设 和
是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
。
又知随机变量 , 试求w 的分布律及其分布函数 。
九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg 且 强力服从正态分布，改用新原料后，从新
产品中抽取 25 件作强力试验，算得 ( 分别取
和 0.01， 已知
，
， 问新产品的强力标准差是否有显著变化 ？
）
十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在 100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：
从经验和理论知且各
与
之间有关系式
。 试用最小二乘法估计 a , b.
?
独立同分布于
概率论与数理统计模拟试题A解答 一、单项选择题
1. （B）; 2. (B); 3.(D) 二、填空题
1. P(B)P(A|B); 2. 0.3174; 3. ; 4. =0.3024
三、解 ： 因
其中 u～N ( 0， 1 ) ， 又由于
， 故可取
， 且u与y相互独立 。 从而
与y也相互独立 。
于是
四、 的分布律如下表：