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∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E，∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°， ∴OC⊥D C，∴CD与⊙O相切． （2）∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B， 又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°， ∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形， ∴∠DOA=60°， ∴在Rt△DCO中，
DCOC?tan?DOA =3，
[来源:21世纪教育网]
∴DC=3OC=3OA=23．
25．（2011湖南衡阳，25，8分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A(0，23)，B(2，
0)直线AB与反比例函数y?mx的图像交与点C和点D（-1，a）．
(1)求直线AB和反比例函数的解析式； (2)求∠ACO的度数；
(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．
23)，【解】(1)设直线AB的解析式为y?kx?b，将A(0，B(2，0)代入解析式y?kx?b???k??3,?b?23,中，得?，解得?．∴直线AB的解析式为y??3x?23；将D
???2k?b?0?b?23（-1，a）代入y??3x?23得a?33，∴点D坐标为（-1，33），将D（-1，
mx33）代入y?中得m??33，∴反比例函数的解析式为y??33x．
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?y??3x?23,????x1?3?x1??1?3）(2)解方程组?得，，∴点C坐标为（3，， ??33??y???y1??3??y1?33x?过点C作CM⊥x轴于点M，则在Rt△OMC中，
CM?3，OM?3，∴tan?COM?CMOM?33，∴?COM?30?，
在Rt△AOB中，tan?ABO?AOOB?232=3，∴?ABO?60?，
∴∠ACO=?ABO??COE?30?．
(3)如图，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，
∴?= ∠COC′=90°－30°=60°，∠BOB′=?=60°，
[来源21世纪教育网]∴∠AOB′=90°－∠BOB′=30°，∵ ∠OAB=90°－∠ABO=30°， ∴∠AOB′=∠OAB，
∴AB′= OB′=2．
答：当α为60度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长为2．
26．（2011湖南衡阳，26，10分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m＞4)，点P是
AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于
点Q．
(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
(2)连结AC，若PQ∥AC,求线段BQ的长（用含m的代数式表示）
(3)若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．
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【解】(1) 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），
∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°， 又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP， 又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴∴
10?AP4?4APPBDA?BCAP，
，∴AP?2或8，∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的
长2 或8．
(2) 如下图，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴
ABDA?BCAPm44AP16m，即?，∴AP?．
∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，m?16PBAB?BQBC，即
m?BQ，∴BQ?4?16．
2mm4(3)由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），
∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP，
∴PB=DA=4，AP=BQ=m?4，
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：S四边形PQCD= S矩
形ABCD
－S△DAP－S△QBP=DA?AB?12?4??m?4??1212?DA?AP?12?PB?BQ
=4m??4??m?4?=16（4＜m≤8）．
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27．（2011湖南衡阳，27，10分）已知抛物线y?12x?mx?2m?272．
(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
【
(1)?=??m??4?2解
1】
27??22??2m??=m?4m?7=m?4m?4?3=?m?2??3，∵不2?2?管m为何实数，总有?m?2?≥0，∴?=?m?2??3＞0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．
(2)∵ 抛物线的对称轴为直线x=3，∴m?3， 抛物线的解析式为y?12x?3x?22252=
12?x?3?2?2，顶点C坐标为（3，－2），
?y?x?1,?x1?1?x2?7?解方程组?，解得或，所以A的坐标为（1，0）、B125???y1?0?y2?6?y?x?3x??22的坐标为（7，6），∵x?3时y=x－1=3－1=2，∴D的坐标为（3，2），设抛物线的
对称轴与x轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2， ① 假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且
相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P
使得四边形ACPD是正方形．
② (Ⅰ)设直线CD向右平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形
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是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3?n，直线CD与直线y=x－1交于点M（3?n，2?n），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N， ∴N坐标为（3?n，n?2）， 又N在抛物线y?12x?3x?252上，∴n?2?12?3?n?2?3?3?n??52，
解得n1?0（不合题意，舍去），n2?2，
（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N， ∴N坐标为（3?n，n?6）， 又N在抛物线y?12x?3x?252上，∴n?6?12?3?n?2?3?3?n??52，
解得n1?1?17（不合题意，舍去），n2?1?17，
(Ⅱ) 设直线CD向左平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3?n，直线CD与直线y=x－1交于点M（3?n，2?n），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N， ∴N坐标为（3?n，?2?n）， 又N在抛物线y?12x?3x?252上，∴?2?n?12?3?n?2?3?3?n??52，
解得n1?0（不合题意，舍去），n2??2（不合题意，舍去）， （ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N， ∴N坐标为（3?n，6?n）， 又N在抛物线y?12x?3x?252上，∴6?n?12?3?n?2?3?3?n??52，
解得n1??1?17，n2??1?17（不合题意，舍去），
综上所述，直线CD向右平移2或（1?17）个单位或向左平移（?1?17）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
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