22. (本题满分14分) 设曲线y?ax313?12bx2?cx在点x处的切线斜率为k(x),且k (－1)=0.对一切实数x,不等
式x≤k (x)≤(x2?1)恒成立(a≠0).
2(1) 求f (1)的值;
(2) 求函数k (x)的表达式;
n(3) (理)求证:
?i?11k(i)＞
2nn?2
东营市2004年高三第二轮教学质量调研
数 学 答 案
1. A 提示: y?12sin(?x?2?),x?2时, y?23CB?2312sin(2??2?)?23)AC
12sin2??1
2. D 提示: CB=AB－AC, CD=AB?(?3.B 提示: f (x)＞0, cosx＜0或f (x)＜0, cosx＞0 4. C 提示: 0≤m≤,13},
13?14?1121143≤n≤1,当M={x14≤x≤1}, N={x≤x≤}时,M∩N={x3114≤x≤
a25. A 提示: 准线x?c,渐近线y??bxx,A,B(a2c,?abc),R?abc?c?a2c,∴ab=c－
2
a2=b2,e=2 6. C
7. B 提示: g(n)=bg(n－1)+1, ∴an?1?g(n?1)?an?ban?1
g(n?1)b?1b,an=bg(n－1)－g(n－1)+1,∴
x－y+5≥0 x－y+5≤0 8. B 提示: x+y=0 或 x+y≤0 (舍去) 0≤x≤3 0≤x≤3 9. C 提示: 6组上一级, 2步上二级 ,C8=28
10. C
11. C 提示:原式与x4－2x3－x2+2x+1被5除余数相同, x4－2x3－x2+2x+1=x(x2－1)(x－
2)+1,1,2排除, x=3时可被5整除
12. D 13. (理)
23121316232 提示:原式Eε=－1×?1???,E??2E??1?
(文) 5 提示: 20×0.25=5 14. (a)?(2),(b)?(1),(c)?(3)9
4)?4111111?2?41015. 5 提示: f(111)?f(101111=1, ∴f(5)?f(6)=1, ∴ 1011114?211f(111)???f(1011)=5.
16. 60°, 2S
17. 解: (1)
n23?5n?15＞n, n＜3或n＞15 (2分)
∴n=1,2,16,17,…,35 (4分) 共22个球符合条件, P=
n22235 (6分)
152(2) 令f(n)?3?5n?15,其对称轴为n=(8分)
∴n=1,2,…,6,7分别有对应的球,共7队 (共10分)
P?7C352?185(12分)
解
218.
(1)f(A,B)?(sin分) 当sin2A?32,sin2B?12A?3sin2:
14)+1=(sin2B?12)?1(2
2A?34)?(cos22B?cos2B?取最小值, ∴2B=60°,B=30°(4分)
2A=60°或120°,∴A=30°或60°,∴C=180－B－A=120°或90°(6分)
??22(2)f(A,B)?sin2A?cos2(?A)?3sin2A?cos2(?A)?2?sin2222A?cos
23sin2A?cos2A?2?2(cos2A?12?sin2A?32)?3?2cos(2A?32)?3?2cos2(A??6)?3(10分) ?6?2k?,?3)(k?Z) (12分)
f (A)=2cos2A, ∴P=(19. 解: (1) 设M(xM,0),P(0,yp),
?xMyp?ypa,yp??axM(2分)
2 设N( x,y), 则x??xM,y?2yp (4分) ∴(
12y)2??a?(?x),y2?4ax (6分)
(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),KA=(a+x1,y1),KB=(a+x2,y2),直线l:y?k(x?a)代入
y2?4ax,得k(x?a)?4ax,kx?2akx?4ax?ka2222222?0(8分)
∴x1?y1?2ak2?4a2k,x1x2?a (10分)
2cos??KA?KBKA?KB?(a?x1)(a?x2)?y1y2(a?x1)?y1?22(a?x2)?y2228a??(a?x1)?y?22124ak22(a?x2)?y222＞0, 又∵cosθ不可能取到1, ∴cos??(0,1),又∵
??[0,?], ∴0＜θ＜
?2(12分)
20. (1)证明: 作PG⊥AD于G,∵面PAD⊥面ABCD, ∴PG⊥面ABCD(1分)
又∵△PAD为正△,∴AG=DG,连BG,又∵∠DAB=60°,DA=DB,∴△DAB为正△(2分) ∴BG⊥AD,又∵BG为PB在面ABCD上射影, ∴AD⊥PB(4分) (2)解: ∵PG⊥面ABCD,∴G为P在面ABCD上的射影,(6分) ∴cos??S?GBCS?PBC,∵PB⊥AD,AD∥BC,∴PB⊥BC,设AD=a,则PG=
32a,BG=
32a,
PB=
62a, BC=a,∴S△PBC=
12?a?62a?64a,S?GBC?212□ABCD
=S△ABD=
312?a?32a?34a, ∴cos??2464aa2?222, ∴θ=45°(8分)
即面二面角A—BC—P为45°
(3)证明:连GC交DE于H,则易知H为DE中点,连FH,在△PGC中,PF=CF, GH=CH,∴FH∥12PG(10分)
∴FH⊥面ABCD, 又∵FH?面FDE,∴面FDE⊥面ABCD(12分)
≠
0?0)?f(0),∴f(0)?0 (1分) 21. (理) 解: (1) f(0)?f(0)?f(1?0 f (－x)+f(x)=f( 0)=0 即f (－x)=－f(x), ∴f (x)为奇函数 (2分) (2) 设－1＜x1＜x2＜0, f(x2)?f(x1)?f(x2)?f(?x1)?f(x2?x11?x1x2)(3分)
又∵当x?(?1,0)时, f (x)＞0, ∴当x?(1,0)时,f (x)＜0, 即f (x2)－f (x1)＜0 (4分) ∴f (x)在(－1,0)上递减 (5分)
x2?x11?x1x2＞0,∴f(
x2?x11?x1x2)＜0,
1 (3)f(1n?3n?112)?f(1n?2)?f(n?3n?1n?2),
111?2?n?3n?1n?222?12n?4n?3n?4n?31n?3n?1n?2∵?3??, 2211n?1n?5n?7n?3(n?1)(n?4n?3)1?2?n?3n?1n?2111∴f(2)?f()?f() (8分)
n?2n?1n?3n?11111111 (4) f()?f()??f(2)＞f()?f()??f(2)?f()?
511511n?2n?3n?1n?3n?1?12
1111111f()?f()??f()?f()?f()???f()?f()2511n?1511(n?1)?2(n?1)?3(n?1)?1=f()?f(51111)???f(n)???f(11?3?1?12)?f(1)?f() 1?221证毕 (12分)
(文) 解: (1)f(1)?f()?f(x)?f(x)?0 (x＞0)
xx (2) 设0＜x1＜x2,f (x2)－f (x1)=f(x2x1),∵
x2x1＞1,∴f(x2x1)＞0 (4分)
∴f (x2)－f (x1)＞0, 即f (x)单调递增 (6分) (3) f(6)?f(366)?f(36)?f(6),∴f (36)=2 (8分)
122
f(x?3)?f()?f(x?3x)＜f (36),即x+3x＜36 (10分)
x??x?3?0317?3又? ,∴0＜x＜ (12分)
12??0?x22. 解: (1)k(x)?ax?bx?c (文2分,理1分) ax?bx?c?x≥0 (文2分,理2分)
∴a＞0,△≤0, (b－1)－4ac≤0 ① (文4分,理3分)
ax2222
?bx?c－
1212x?212≤0, ∴a?12＜0,△≤0,b?4(a?212)(c?12)≤0 ②(文5分,理4
分)
又∵1≤k(1)≤
(1?1), ∴k(1)=1 (文9分)
2 又∵k(1)=a + b + c=4a, ∴a? ∴f(1)?7014(文10分)
121 (2) k(x)?(x?1)2(文14分,理10分)
4n (文12分,理9分)
(理) (3)
121?i?11k(i)?2n142[12???1(n?1)2]＞
142?3[1?13?4?1(n?1)(n?2)]?14
[?n?2]?n?2(理14分)