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五年级 第11讲 约数和倍数
【兴趣篇】
1. （1）请写出105的所有约数；（2）请写出72的所有约数。 【分析与解】方法一：105的所有约数，我们可以试着去找一下：
1，3，5，7，15，21，35，105． 这些都是105的约数，找的时候可以一对对的找，比如找到了1，我们就知道还有105与其对应；找到了3，我们就知道还有个35也是105的约数。而且范围在逐渐变小，等找到7，15的时候，我们只需看在7和15之间还有没有105的约数即可。
方法二：105=3×5×7，如果只求有多少个约数的话，根据乘法原理，我们很清楚的知道一共有2×2×2=8个约数。但是这时要求我们写出所有的约束来，就需要一一列举：
10一共有一个3，也就有两种情况，要么这个约数是3的倍数，要么不是，即3和3。 同理，5和7也是两种情况。
所以有，3×5×7=1；3×5×7=3；3×5×7=5；3×5×7=7；
10001000100013×5×7=15；3×5×7=21；3×5×7=35；3×5×7=105；
同理，（2）求72的约数也是这样。即：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72
2. （1）20000的约数有多少个？（2）720的约数有多少个？ 【分析与解】
求约数的个数，我们要看这个数的约数是怎么组成的。20000=2×5 所以它有（5＋1）×（4＋1）=30个约数。
451010101111142720=2×5×3，所以它的约数个数是：（4＋1）×（1+1）×(2＋1)=30个。
3. 计算：（1） （28，72），[28,72];(2) (28,44,260),[28,44,260]. 【分析与解】 通过短除法来求:
(1)（28，72）=4；[28,72]=504;
两个数之上的,也是通过短除法,求最大公约数,要看三个数.最小公倍数则需要最后化简到两两互质.
(2)（28，44,260）=4；28,44,260最大公约数是4,则化简到7,11,65,此时已经是两两互质了,所以它们的最小公倍数就是4×7×11×65=20020
4. 两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？ 【分析与解】
因为差是6,所以最大公约数不能比6大,只有可能是1-6,如果这两个数是1和7,那么它们的差是6,最大公约数就是1.如果他们是2和8,那么它们的差也是6,最大公约数就是2,如
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果是3和9,那么最大公约数就是3,但是当最大公约数为4时，我们会发现：4a-4b=6,则4（a－b）=6，（a－b）=
3，不和题意。同理，最大公约数也不是5.而1，2，3，6都符合2这个等式，满足题意。所以答案是：1或者2或者3或者6.
5. （1） 求1085和1178的最大公约数和最小公倍数；
（2）求3553，3910和1411的最大公约数。 【分析与解】
（1）求1085和1178的最大公约数，那么就应该用1178-1085=93，这个所得差一定是它们两个数最大公约数的倍数。很明显，93=3×31,而我们知道1085和1178都不是3的倍数，那么它们的最大公约数一定是31.
求最小公倍数时就用短除法，已经知道了最大公约数，不难求出最小公倍数是：35×31×38=41230。
小窍门：知道最大公约数时，可以简单的算出这两个数中与31对应的另一个约数，然后直接用这个约数乘以另一个数。例如我们知道了1085中对应31的另一个约数是35，那么我就可以用35×1178=41230，即为我们所求的答案。
（2）这是求三个数的最大公约数，一般是用短除法来做。但是这里我们发现，求3553，3910，1411的最大公约数，用尝试的方法来做，就比较麻烦了。所以我们首先可以简化一下，用3910-3553=357，我们来看看357的约数就可以了。很明显357能被3整除，所以357=3×119，119的约数呢？119=7×17。
我们发现1411不是3的倍数，也不是7的倍数，那么只有可能是17的倍数了。所以最后我们得出：3553和3910、1411的最大公约数就是17。
6. 教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工。请
问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？ 【分析与解】
此题就是要求求出最大公约，因为所给的数比较简单，用短处法即可。 结果为：40份，苹果8个，桔子6个，香蕉5个。
7. 一块长方形草地，长120米，宽90米。现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点
都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等。请问：最少要种多少棵树？ 【分析与解】
本题也是求最大公约数，但是要注意的是，中间要种树，即60米和45米的地方要种树，而且在每个角的地方，都会有公共点。
所以应该是求120、90、60、45的最大公约，等于15.所以隔15米种树。(8＋6)×2=28棵。（注意：因为算的时候是没有算起点的，即1-8倍15，和1-6倍15，并没有算0倍15的情况，而四个起点没算，但是算了4个终点，所以答案就是28棵树）。
8. 甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那么乙数是多少？ 【分析与解】
因为最大公约数是6，所以18÷6=3，所以乙数应该是90÷3=30。（如果有什么不理解的话，那么可根据短除法，来理解这句话的含义）
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9. 有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍。已知甲数是2、4、6、8、10、12、
14、16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位数。乙数是多少？ 【分析与解】
求出2，4，6，8，10，12，16的最小公倍数是：即求出10，12，14，16的最小公倍数即可，为：1680，1680×27=45360，乙数等于81.
10. 小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是35，最
小公倍数是70。这三个数的和可能是多少？ 【分析与解】
35=5×7，最小公倍数70=5×7×2，我们可知最大公约数是他们3个数的共同约数，但是求最小公倍数时，不一定都是3个数的约数，也就是2最后可能是剩余的1，1，2的情况，也可能是1，2，2时，有进行了简化，化到两两互质的最简形式，所以结果可能是：35×1＋35×1＋35×2=140，也可能是35×1＋35×2＋35×2=175两种情况。
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【拓展篇】
1. 72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？ 【分析与解】
3272=2×3，一共有（3＋1）×（2＋1）=12个。2×4=8个。 一共有12个约数，其中有8个是3的倍数。
2. 5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式。 【分析与解】
3235400=2×5×3，所以一共有（3＋1）×(2＋1)×(3＋1)=48个约数。
（0＋1＋2＋3）?3?472所有约数的乘积，即每一个质因数都会对应多种情况。所以2（0＋1＋2＋3）?3?472（0＋1＋2）?4?44872=248，
723=3，5=5。所有约数的乘积就是：2×3×5
3. 两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1。这两个数分
别是多少？ 【分析与解】
422800=2×7×5，一共有5×2×3=30个约数，把其分成两个数约数乘积的形式，即5和6正好符合题意。所以解得答案是16和175.
4. 计算：（1） （391，357），[391,357]; (2)(18,24,36) ,[18,24,36]. 【分析与解】
（1）391-357=34，34=2×17，所以最大公约数是17. 391÷17=23，所以23×357=8211；
（2）用短除法求的最大公约数是6，最小公倍数要求道两两互质，所以最小公倍数为6×3
2×2=72。
5. 1547、1573、1859这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？ 【分析与解】
1573－1547=26，26=2×13，最大公约数是13；
所以1547=13×119，1573=13×121，1859=13×143；用短除法可求出121与143有公约数11，即121=11×11，143=11×13；所以最它们的小公倍数是13×11×119×11×13=2433431。
6. 张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、
26个梨和6个桔子没分出去。请问：每个小朋友分了多少个苹果？ 【分析与解】 225－9=216（个），350-26=324（个），150-6=144（个）。
求216、324和144约数。324-216=108，144-108=36；36与144的公约数就是36. 216÷36=6（个）
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7. 一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80.这个数是多少？ 【分析与解】
两个数的最小公倍数等于它们的最大公约数乘以互质的两个数，80÷8÷2=5，所以这个数等于5×8=40。
8. 两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216.这两个数分别
是多少？ 【分析与解】 216÷18=12，因为不成倍数关系，所以把12化简成质因数的形式12=3×4；所以3×18=54，4×18=72。
9. 两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是
多少？ 【分析与解】
420÷6=70，70=2×5×7，有因为两个数相差18，所以18÷6=3，即2×5=10与7相差3，所以较小的数为7×6=42
10. 有4个不同的正整数，它们的和是1111，请问：它们的最大公约数最大能是多少？ 【分析与解】
要求最大公约数，首先要符合是各个数的约数，也就是1111的约数，1111=11×101。因为要求最大可能，并且是4个数，那么一定是最大公约数尽量小的倍数11=1＋2＋3＋5。所以1111÷（1＋2＋3＋5）=101
11. 甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105.甲、丙两个数的
最小公倍数是126.请问：甲数是多少？ 【分析与解】
2首先根据题意，可以求出三个数的最小公倍数来。即2×3×5×7=630，所以根据甲乙的最小公倍数是90，求的丙最后和甲乙互质的数，即为630÷90=7，所以用甲丙的最小公倍数126÷7=18，所以甲数为18.
12. 甲、乙是两个不同的自然数，它们都是只含有质因数2和3，并且都有12个约数。它
们的最大公约数是12，请问：甲、乙两数之和是多少？ 【分析与解】
352×12=24， 24=2×3，因为约数不到12个，所以应该是：2×3=96，所以甲数是96；
22233×12=36，36=2×3，约数也不到12个，所以应该是2×3=108 96＋108=204
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