-学 习 改 变 命 运-
【超越篇】
1. 360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？ 【分析与解】
32360=2×3×5，求奇约数个数，因为：奇数×奇数=奇数，偶数×奇数=偶数；所以360
0的奇约数个数就是为3和5组成的约数个数。2只能取2=1，3有三种情况，5有两种，则有一共有1×3×2=6个。这些奇约数的和是（1+3+9）×（1+5）=78。
2. 求出所有恰好有10个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和？ 【分析与解】
6恰好有10个约数，那么一定是2×5（因为1×10不存在这样的数, 2=64，再大就不是两
4位数了。），所以可以是2可以和3，5，组成一个两位数。所以为48和80，48的约数之和为：（1+2+4+8+16）×（1+3）=124；80的约数之和为：（1+2+4+8+16）×（1+5）=186
3. 已知a与b的最大公约数是4，a与c、b与c的最小公倍数都是100，而且a≤b。满足
条件的自然数a、b、c共有多少组？ 【分析与解】
我们知道a与b的公倍数是100，所以100÷4=25，所以除以4之后，a与b余下的数乘积可能是25，也可能是5，也可能是1. 这时候我们分情况讨论，
若为25，则a与b余下的数两两互质且为25，
即5×5，所以a=20,b=20,c=100或者c=25,或者c=50,或者c=100,三组。 因为a≤b,所以也有可能是a=4,b=100,c=25或者c= 100，两组。 若为5，则可能是a=4,b=20,c=25或者c=100,两组。 若为1， 则a=4,b=4,c=25或者c=100,两组。 所以一共9组答案。
4. 所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个约数？ 【分析与解】
7×5×2=70，因为既是70的倍数又有70个约数，只有取约数7，5，2三种，对应的取得次数应该是7，5，2三种。所以应该有3×2×1=6个数。
5. 自然数n是1，2，3，…，10的公倍数，而且它恰有72个约数。n的最小值是多少？ 【分析与解】
322520=2×3×5×7，要想使得其有72个约数，并且最小值，那么就比较在各个位置上，哪里添加比较好。只要在（3+1+2）×（2+1）×2×2=72,即可。所以最小值为2520×4=10080
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116. 三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处。里圈跑道
5千米，中圈跑道长4外圈跑道长
千米，
38千米。甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步。
千米，乙每小时跑4千米，丙每小
13开始时，三人都旗杆的正东方向，甲每小时跑
213甲每小时跑
21÷
5时跑5千米。他们同时出发，请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？ 【分析与解】
=16(圈),乙每小时跑4÷
14=16（圈），丙每小时跑5÷
340
8=3（圈）这是我们发现，只要求出丙过多少小时候后，恰好跑到16圈的倍数，
16和
403公倍数是80，所以当丙跑80圈是恰好是过了6小时。
7. 如图11-1，在一个600×600的方格表ABCD中，将AB与线段CD上除端点外的所有格
点
Ｎ,Ｎ,Ｎ，…，Ｎ１２３599分别相连，得到
599条线段。请问,在这些线段中：
（1） 不会与其他格点相交的线段共有多少条？
（2） 经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）？ （3） 除去端点，还恰好经过29个格点的直线有多少条？
A
B
………
D
N1N2N598N599C
（暂无详解）答案：160条；299个；8条。
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【分析与解】
8. 有些自然数等于自身约数个数的平方，例如1和9都具有此性质。请问：是否还有其他
自然数具有此性质？如果有，请举例；如果没有，请说明理由。 【分析与解】
2不存在。因为化简质因数后，2是最小的情况。我们发现2=4，而约数个数为（2+1）=3,
23=9;因为4＜9,所以底数增加，可能存在相等的情况。显然把底数2变成3后，就符合情
32况了。然后我们看2=9，它们约数个数是4个，即约数个数的平方为：4=16；因为9＜16，所以存在可能情况，使得约数个数为4的数符合题意。但是我们发现如果把最小底数2
3换成3的话，就是3=27，27＞16，不符合题意。所以存在4个约数的数，不存在这种性质。
44我们再看2=16，它存在5个约数，5×5=25，16＜25，同理把2换成3后，3=81，81＞25,所以有5个约数的数也不符合题意。
52=32，约数个数的平方为：6×6=36，32＜36，所以可能存在。但是经过验证不符合。
62=64，约数个数的平方为：7×7=49，64＞49，所以不存在。
72=128，约数个数的平方为：8×8=64，128＞64，所以也不存在。
……；
n2n2最后我们可以写成：2，与（m）的形式，m=n+1,n≥6时，2＞（n+1）.
分析教师：赵元江
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