111111(1???????)2223nn?111?(1?) 则2n?1n?2(n?1)Tn?π
19．解：(1)解法一：∵P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC＝2，∴∠PCB＝4，PC＝2， ππ
又∵∠ACB＝2，∴∠ACP＝4，
π
PCcos4＝5，∴PA＝5. 在△PAC中，由余弦定理得PA2＝AC2＋PC2－2AC·
解法二：依题意建立如图直角坐标系，则有C(0,0)，B(2,0)，A(0,3)，
πππ
∵△PBC是等腰直角三角形，∠ACB＝2，∴∠ACP＝4，∠PBC＝4， ∴直线PC的方程为y＝x，直线PB的方程为y＝－x＋2，
?y＝x?由?得P(1,1)， ??y＝－x＋2
∴PA＝－＋－＝5，
2ππ
(2)在△PBC中，∠BPC＝3，∠PCB＝θ，∴∠PBC＝3－θ， 2PBPC
由正弦定理得2π＝sinθ＝?π?，
sin3sin?3－θ?
6
4343?π?∴PB＝3sinθ，PC＝3sin?3－θ?，
12π43?π?
PCsin3＝3sin?3－θ?sinθ ∴△PBC的面积S(θ)＝2PB·2333
＝2sinθcosθ－3sin2θ＝sin2θ＋3cos2θ－3 π?23?3?π?＝3sin?2θ＋6?－3，θ∈?0，3?， π3
∴当θ＝6时，△PBC面积的最大值为3. 20．解：（）由方程ax2?bx?2x有两个相等的实数根得??(b-2)2 =0,则b=2,. 由f(x?1)?f(3?x)知对称轴方程为x??则a??1,故f(x)??x2?2x.
(2) 存在.由f(x)??(x?1)?1?1知4n?1，即n?而抛物线y??x2?2x的对称轴为x=1，则n?b?1, 2a1， 41时， 4f(x)在[m,n]上为增函数.
假设满足题设条件的m,n存在，
?f(m)?4m??m2?2m?4m?m?0或m??2,即?, ,则?解得?2?n?0或n??2?f(n)?4n??n?2n?4n又m＜n,所以存在m??2;n?0符合题意
21．解：21．解析：（1）g?x?的定义域为(0,??)
∵g?x??ax?lnx,a?R，?g??x??a?1ax?1?， xx当a?0时，g?(x)?0在(0,??)上恒成立 ∴g(x)的增区间?0,???，无减区间， 当a?0时，令g?(x)?0得0?x??1令g?(x)?0得x??，
a7
1， a
1???1?∴g?x?的增区间?0,??，减区间??,???；
a???a?（2）f?x??g?x??1，即ex?1?lnx?a?ax?1?0在?1,???上恒成立， 设F?x??ex?1?lnx?a?ax?1，考虑到F?1??0，
1?a，在?1,???上为增函数， x1x?1∵x?1，e??0，
xF??x??ex?1?∴当a?0时，F??x??0，F?x?在?1,???上为增函数，F?x??0恒成立 当a?0时，F??1??0，F??x?在?1,???上为增函数，
'?x0??1,???，在?1,x0?上，F??x??0，F?x?递减，F?x??0，这时不合题意， 综上所述，a?0；
22．解：(1)由x＝cosα＋sinα得x2?(cos??sin?)2?cos2??2sin?cos??sin2?， 所以曲线M可化为y＝x2－1，x∈[2,
2]，
2222?π?
由ρsin?θ＋4?＝2t得2ρsinθ＋2ρcosθ＝2t， 所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲线N可化为x＋y＝t.
(2)若曲线M，N有公共点，则当直线N过点(2,1),时满足要求，此时t＝2?1，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，
??x＋y＝t5?联立??y＝x2－1，得x2＋x－1－t＝0，由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－4.
5
综上可求得t的取值范围是－4≤t≤2?1.
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