第2章 连续小波变换
设 ?(t)?L(R) 且
2?????(?)|2|?|?1d??? |?。令： ?(t) 称为基本小波（小波母函数）
?ab(t)?1t?b?() a,b?R a?0
a|a|一般单位化?(t) ||?(t)||?1。由于
22|?(t)|dt?1?|?(t)|dt??sgn(a)|?(ab??t?b2t)|d()?1 aa?ab(t) 也单位化了。
定义小波变换
Wf(a,b)??f,?ab??1a?????f(t)?(t?b)dt a1/a相当于频率，b相当于位移
a? 频率移向高端 ???
1?t2e 例 ?(t)?2?t?1''2?(t)???(t)?(1?t)e2
2?22（Mexico Hat）
?(?)??2e
???22
21
令 C???????2??(?)??1d?
g,f?L2(R)?C(R) 1则f(t)?C???????????????Wf(a,b)?ab(t)dadb （1）反演公式 a2??????Wf(a,b)Wg(a,b)????2dadb?C??f,g? (2) Parseval 等式 2a令f＝g
1C???????Wf(a,b)dadb?f2a22
证明： Wf(a,b)??f,?ab代入（2）左边，有
a1?????f,?ab??2?2??f?(w)eiwb?(aw)dw ???Wf(a,b)Wg(a,b)???1a?dadbdadbiwb?i?b?(a?)d?d?] ??[f(?)g(?)e?e?(a?)?222????aa4?da?(?)?(a?)daeiwbdb?e?i?bg??dwf(?)?(a?)?4?2??a?a1da?(?)????dwf(a?)?(a?)g(?)2???a21da1?(?)g?(?)g???(?)d??C?(f,g)d??(a?)f(?)?C??f??2?a2?
即得（2） 在（2）中令g(t)?12?ae?(t?t0)24a
再令a??0 即得（1）式
C????的条件
??（1）?(t)dt?0 （必要）
??? 22
（2）?(t)?C(1?t)?1?? （充分）
由（2）可见 ?ab(t)也有类似窗口的作用。 令 t**?ab?at??b
可算出 ??ab?a??
?1??ab?a??? 显然 (??ab?21??ab)?4 同样， 窗口面积不能任意小 注意
1a相当于频率 ?1??ab/a?????const 频率越高，窗口越大，“自适应窗口” （3）式称为连续小波变换的“等Q性质” 在小波包中可部分解决控制窗口面积问题。
Meyer wavelet
(3) 23
第3章 正交小波基
把连续小波离散化，取a0?1,b0?0
m??a02?(ammn(t)0t?nb0),m,n?Z
{?mn}是否能成为L2(R)的标准正交基?
正交基——最经济的展开式，没有冗余信息
§1. Shannon定理
设有一个函数f(t)，t?R不妨认为它表示时间 我们对于f(t)的了解，只能通过抽样，即
测定f(n?)的值，其中??0,n?Z 问题：已知{f(n?)}是否能确定f(t)？ 这是一个插值问题，解一般并不唯一确定
若对f?(?)加上一些限制条件，则可以 定理 设f?(?)??f(t)e?i?tdt为f(t)的Fourier变换，若当??B时,f?(?)?0则称f(t)是频谱B有限的，此时当???B时,{f(n?)}n?Z可唯一确定f(t)，
并有插值公式
sin?t??n)f(t)??f(n?)??(
n?Z?(t??n)取B??，可取??1 取空间
V??{f(t)|f?(?)?0,???} 对?f(t)?V?
f(t)??f(n)sin?(t?n)n?Z?(t?n)
24
令：?(t)?sin?t?t?:sinc(t) ??(?)????1,???0,其他＝?[－?，?（]?）? ???sinc(t-n)sinc(t-m)dt=1e?in?e?im?2???d???mn ?{sinc(t-n)}构成 V?的一组标准正交基
f?V1?,f(t)?f(2t) [f(2t)]????2f(2)f(2t)?V2??{g(t)|g?(?)?0,??2?} 易见{2?(2t?n)}n?Z构成V2?的一组标准正交基
V?：低通滤波器
V2?比V?分辨精细
当然也可以：f(t)?f(t2)
f(t2)?V??{g(t)|g?(?)?0,??1} 22这样我们得到了一系列空间：
V??V??V??V2????L2(R)
42?V?{0}
V
?Z2m?mm??Z2m??L2(R){2m2?(2mt?n)}n?Z组成V2m的一组标准正交基
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