对于f(t)?L2(R)令
?k(?)??[0,2k?1?](?)
f?m(?)?f?(?)?m(?) f?m(?)??L2?f?(?) FT?1(f?m(?))?:fm(t)?V2m?fL2
m(t)???f(t)利用V2m?滤波器对频谱理想划分
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§2. 多分辨率分析
对上述sinc函数频谱划分的方法进行抽象和推广， 我们有下面的Multi-resolution Analysis(MRA) (多尺度/多分辨分析)
定义：称满足下列条件的L2(R)中的一列子空间{Vm}m?Z及 一个函数为一个正交MRA （1）Vm?Vm?1,?m?Z （2）f(t)?Vm?f(2t)?Vm?1 (3 ) ?{0}
m?Vm?Z（4）
L2(R)
m?Vm??Z（5）?(t)?V0，且{?(t?n)}n?Z是V0的标准正交基，
?(t)称为此MRA的尺度函数/父函数
V0
V-3
V-5
V-6
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?1,t?[0,1]例1. Haar函数 ?(t)??[0,1](t)??
0,其他?Vm?{f(t)|f?L2,f在[2?mn,2?m(n?1)]上为常数，?n?Z}
成为一个多尺度分析（MRA）
2?m(n?1))阶梯函数算子 Pmf:[Pmf]t(?为L2(R)?Vm的正交投影算子
m22?mn?fxdx()t?,?mn[2?mn,?2( 1)]?mn(t)??(2mt?n) 则
span{?mn}n?Z?Vm
用Haar函数的MRA构造简单，局部性好（supp{?}?[0,1]）
我们以后常用举例说明问题，但它的光滑性较差，我们希望构造各类满足一定要求的
MRA
定理3.1令?0n(t)??(t?n)，则{?0n(t)}n?Z是标准正交系
?(??2k?)?1 ???k?Z2?(??2k?)?1，则F(?)以2?为周期。 证明：F(?):???k?Z2?(?) ?0n(?)?e?in???112?i(n?m)??0n,??0m??????0n,?0m?????(?)ed? 2?2??2(k?1)?2?1??12?i(n?m)?2?i(n?m)?????(?)ed???(??2k?)ed? ????2???2?2?k?Z01?2?2??0F(?)e?i(n?m)?d?
?{?0n}n?Z是标准正交系???0n,?0m???nm
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2??1i(n?m)?2??F(?)e?d???nm?F(?)?1
01进一步，因?(t)?V0?V1，且{22?(2t?n)}n?Z
是V1的标准正交基，故有
?(t)??hn?(2t?n) (☆)（双尺度方程）
k?Z?h2n???
k?Z定理3.2 令H(?)?1h?in?2?ne,hn由上式确定 n?Z则H(?)是周期为2?的函数，且H(?)2?H(???)2?1 证明：由(☆)式得
??(?)?1?n?/2??? 2?hne??(2)?H(2)??(2)
即 ??(2?)?H(?)??(?) 由Th.3.1 F(?)?1 故 1?F(2?)????(2??2k?)2??H(??k?)2??(??k?)2 k?Z??H(??2k?)2??2
(??2k?)??H(??(2k?1)?)2??
(??(2k?1)?)2
??H(?)2??(??2k?)2??H(???)2??(??(2k?1)?)2?H(?)2?H(???)2
证毕
现在我们可以讨论如何构造MRA的尺度函数?(x)了，
取?(t)?L2(R)，具有较好的局部性（有限支集或速降）与光滑性，且满足
（a）??(?)连续有界，??(0)?0
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（b）0??????(??2k?)2????? k?Z（c）??(2?)/??(?)?L2(R)且以2?为周期 如果{?(t?n)}n?Z不是标准正交系，则可构造
?*(t):??*(?)???(?)
[??(??2k?)21?]2k?Z据定理3.1{?*(t?n)}为标准正交系，下记?*为?
现令V0?span{?(t?n)}n?Z 并且以下式构造Vm
?f(t)?Vm0?f(2t)?Vm,m?Z
下证这样的?(t),{Vm}构成一MRA (VP1)
（2），（5）在构造中已满足，只须证定义中的（1），（3），（4）(1) 的证明：显然只须证V0?V1
令??(2?)/??(?)?H(?),H(?)?C2?，Fourier展开 H(?)?12?hne?in? n?Z因此，
??(2?)?12?h?in?ne??(?) n?Z即
??(?)?1?in?/?2?hne2??() n?Z2Fourier反变换得：
?(t)??hn?(2t?n)
n?Z{2?(2t?n)}n?Z 是V1 的基， ?(t)?V1 故V0?V1。
因此，??(2?)?12?h?in?ne??(?) n?z
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