2016年黄冈市高三适应性考试
数学答案（理科）
一、BDDCA BCCCA CD
2513二、13． ? 14．2 15． 16．
225三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
?a2?a1?d?517．解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则?
a?a?4d?111?5???a1?32 ? 1 ?an?3?(n?1)?2?n …………（3分）
d?2??数列{bn}的前n项和Sn?n2?2n?1=(n?1)2
当n=1时，b1?S1?4，
当n≥2时，bn?Sn?Sn?1?(n?1)2?n2?2n?1，对b1=4不成立，
n?1?4,所以，数列{bn}的通项公式为bn?? …………6分
2n?1,n≥2?（2）n=1时，T1?n≥2时，所以 Tn?11?， b1b220111?11????? ， bnbn?1(2n?1)(2n?3)2?2n?12n?3??1111111111111n?16n?1?(????L??)??(?)???20257792n?12n?320252n?32010n?1520(2n?3)n=1仍然适合上式， …………10分 综上，Tn?6n?1 ………… 12分
20(2n?3)18．解（Ⅰ）证明：Q四边形ABCD是菱形， ?BD?AC．
QAE?平面ABCD,BD?平面ABCD
?BD?AE．
QACIAE?A,
∴BD?平面ACFE． -------------------5分
（Ⅱ）解：以O为原点，OA，OB为x，y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐
1
uuur标系，则B(0,3,0)，D(0,?3,0)，E(1,0,2)，F(?1,0,a)(a?0)，OF???1,0,a? ---6分 设平面EBD的法向量为n?(x,y,z)，
uuur???n?OB?0?3y?0r则有?uuu，即?令z?1，则n?(?2,0,1) -------------------8分
x?2z?0????n?OE?0
uuuruuur|OF?n||2?a|21由题意得sin45o?|cos?OF,n?|?uuu，解得a?3或?． ??r23|OF||n|a2?15由a?0，得a?3 -------------------10分
????????OF?(?1,0,3),BE?(1,?3,2),??????????1?65 cosOF,BE??4108即所求的异面直线所成的角余弦值为 19．解：（Ⅰ）如表： 喜欢动画片 不喜欢动画片 合计
2
5 ---------------------12分 4喜欢头上长“草”的造型 不喜欢头上长“草”的造型 合计 30 5 35
9 6 15 39 11 50 --------------------3分
50×(30×6－9×5) 2
K=
39×11×35×15
=
4050
= 4.046 > 3．841 1001
所以有95℅以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关． -----------------6分 （Ⅱ）由频率分布直方图知抽到喜欢头上长“草”的频率为
群中抽取一名喜欢头上长“草”的概率为由题意知X~B?3,
3 1 2 27189441343 P 1000100010001000 -------------9分
7217363E(X)?np?3??, D(X)?np(1?p)?3???．-----------12分
10101010100710710，将频率视为概率，即从人
．
?7??，从而X的分布列为： ?10?0 X 2
20．解：（Ⅰ）由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为
(x?c)2?y2?a2，
∴圆心到直线x?y?1?0的距离d?c?1?a（*）------------------------------------1分 2∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴b?c,a?2c， 代入（*）式得b?c?1， ∴a?2b?2，
x2?y2?1. 故所求椭圆方程为……………………………………………………4分 2
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y?k(x?2)，设P?x0,y0?，
将直线方程代入椭圆方程得：(1?2k2)x2?8k2x?8k2?2?0，
1． 28k28k2?2,xx?设S(x1,y1),T(x2,y2)，则x1?x2?， ----------------------6分
1?2k2121?2k24k∴y1?y2?k(x1?x2?4)?? 21?2kuuruuuruuur由OS?OT?tOP，得tx0?x1?x2,ty0?y1?y2
∴??64k4?4(1?2k2)(8k2?2)?0，解得k2?uuruuuruuur当t?0时，直线l为x轴，则椭圆上任意一点P满足OS?OT?tOP，符合题意；
?8k2tx???01?2k2当t?0时，?
?4k?ty?0?1?2k2?18k21?4k∴x0??，y0??．------------------------------------------------------------9分 2t1?2k2t1?2k32k416k2将上式代入椭圆方程得：??1，
222222t1?2kt1?2k????1616k2整理得： t?=是k2的递增函数， 211?2k?2k21由k2?知，0?t2?4，所以t?(?2,0)U(0,2)，
2综上可得t?(?2,2)． ----------------------------------------------------------------12分 21．解：(Ⅰ) 由题意知：函数f(x)的定义域为(?1,??)，且
21(2ax?1)(1?x)?2(ax2?x)x(x?2a?3)，
f?(x)???1?x(1?x)3(1?x)3①当2a?3≤?1时，即a≤1时
若x?0，则f?(x)?0；若?1?x?0，则f?(x)?0
此时f(x)在区间(0,??)上单调递增,在区间 (?1,0)上单调递减. ②当?1?2a?3?0,即1?a?32时
若?1?x?2a?3或x?0，则f?(x)?0； 若2a?3?x?0，则f?(x)?0,
此时f(x)在区间(?1,2a?3)，(0,??)上单调递增,在区间(2a?3,0)上单调递减．
3③当2a-3=0时a?时，f?(x)≥0，故此时f(x)在区间(?1,??)上单调递增．
2
3
3?a≤2时 2若?1?x?0或x?2a?3，则f?(x)?0，若0?x?2a?3，则f?(x)?0,
所以，此时f(x)在区间(?1,0),(2a?3,??)上单调递增,在区间上(0,2a?3)单调递减．
-----------------------6分
?1?11（Ⅱ）显然g(x)?g??，设?(x)?lng?x??(x?)ln(1?x)?xlnx，则?(x)??()，因此?(x)xx?x?在(0,??)上的最大值等于其在(0,1]上的最大值． --------------------------7分 ④当2a?3?0时，即
111)ln(1?x)?(x?)??lnx?1， 2x1?xx111设h(x)?(1?2)ln(1?x)?(x?)??lnx?1，
xx1?x2x2?x22(1?x)[ln(1?x)?](1?x)2，
h?(x)?x3(1?x)2??(x)?(1?由(Ⅰ)知，当a?2时，f(x)在区间(0,1]单调递减，所以
f(x)?ln(1?x)?2x2?x(1?x)2?f(0)?0,h?(x)?0,
所以函数h(x)在区间(0,1]单调递减，于是h(x)≥h(1)?0， 从而函数?(x)在区间(0,1]单调递增，进而?(x)≤?(1)?2ln2， 因为?(x)?lng(x)
所以函数g(x)的最大值等于4． --------------------------------------------12分
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．解析：（Ⅰ）连接OD，可得?ODA??OAD??DAC，
∴OD//AE ..............3分 又AE?DE，∴OD?DE，又OD为半径，∴DE是圆O的切线；..............5分
（Ⅱ）过D作AB?DH于点H，连接BC，则有?HOD??CAB，
OHAC2...............7分 ?cos?CAB??ODAB5
设OD?5x，则AB?10x,OH?2x，∴AH?7x ...............8分
由?AED??AHD可得AE?AH?7x，又由?AEF~ ? DOF，
AFAE7 可得...............10分 ??．DFDO5
cos?HOD?
23．解析：（Ⅰ）由??2sin?，???0,2??，可得?2?2?sin?， ...............1分 所以曲线C的普通方程为x2?y2?2y?0（或x2??y?1??1）， ...............3分
2 4
??x?3t?3,因为直线l的参数方程为?（t为参数，t?R），
??y??3t?2消去t得直线l的普通方程为3x?y?5?0； ...............5分 （Ⅱ）因为曲线Cx2?(y?1)2?1是以G(0,1)为圆心，1为半径的圆，
因为点D在曲线C上，所以可设点D?cos?,1?sin??????0,2???， ...............7分
3cos??sin??42????2?sin????， ...............8分
3??所以点D到直线l的距离为d?因为???0,2??，所以当??
?
时，dmin?1， ...............9分 6
?33?此时D点的坐标为?． ...............10分 ?2,2????
24．解析：（Ⅰ）因为f(x)?f(x?5)?x?3-x?2≤(x?3)?(x?2)?5， 当且仅当x≤?2时等号成立，
所以m?1≤5，解得?4≤m≤6； ...............5分
f?ab?（Ⅱ）证明：要证
|ab?3|b?b??f??，即证??3， |a|?a?|a|a只需证|ab?3|?|b?3a|， 即证(ab?3)2?(b?3a)2，
又(ab?3)2?(b?3a)2?a2b2?9a2?b2?9?(a2?1)(b2?9)，|a|?1, |b|?3， 所以(a2?1)(b2?9)?0， 所以(ab?3)2?(b?3a)2，
故原不等式成立． ...............10分
命题人：黄冈中学 张淑春 张卫兵
上海交大 汪辉松
审题人：黄冈中学 周永林 黄州区一中 杨安胜 黄冈教科院 丁明忠
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