文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com
15．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠AMN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=1000m，则山高MN=1500 m．
考点： 解三角形的实际应用． 专题： 应用题；解三角形．
分析： △ABC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC；△AMC中，由条件利用正弦定理求得AM；Rt△AMN中，根据MN=AM?sin∠MAN，计算求得结果． 解答： 解：△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=1000， ∴AC=
=1000
．
△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°， ∴∠AMC=45°，由正弦定理可得
，解得AM=1000
．
Rt△AMN中，MN=AM?sin∠MAN=1000×sin60°=1500（m）， 故答案为：1500．
点评： 本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=4，c=2，cos（B+C）=
（1）求sinC的值； （2）求b的值．
考点： 正弦定理；余弦定理．
专题： 计算题；三角函数的求值；解三角形．
分析： （1）由诱导公式可得cosA，再由平方关系可得sinA，再由正弦定理，可得sinC；
222
（2）运用余弦定理a=b+c﹣2bccosA，计算即可得到b． 解答： 解：（1）cos（B+C）=sinA=
=
，
，即有cosA=﹣
，
由正弦定理可得sinC===；
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com
（2）由a=4，c=2，cosA=﹣，
则运用余弦定理可得， 222
a=b+c﹣2bccosA， 即为16=b+8﹣2×
2
2
b×（﹣），
即有b+2b﹣8=0，
解得b=2（﹣4舍去）．
点评： 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查同角的基本关系式的运用，考查运算能力，属于基础题．
2
17．（12分）已知抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，A点在抛物线上，且A的横坐标为4，|AF|=5．
（1）求抛物线的方程；
（2）设l为过（4，0）点的任意一条直线，若l交抛物线于A，B两点，求证：以AB为直径的圆必过坐标原点．
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）求出抛物线的焦点和准线方程，再由抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程；
（2）设直线l：x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，即可证得以AB为直径的圆必过坐标原点．
解答： （1）解：抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线为x=﹣， 由抛物线的定义可得，|AF|=4+=5，
解得p=2，
2
即有抛物线的方程为y=4x；
（2）证明：设直线l：x=my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），
2
代入抛物线方程y=4x，可得 2
y﹣4my﹣16=0，
2
判别式为16m+64＞0恒成立， y1+y2=4m，y1y2=﹣16， x1x2=
?
=16，
2
即有x1x2+y1y2=0， 则
⊥
，
则以AB为直径的圆必过坐标原点．
点评： 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，注意联立方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，属于中档题．
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com
18．（12分）已知数列{an}满足：a1=1，2an+1=2an+1，n∈N，数列{bn}的前n项和为Sn，Sn=（1﹣
），n∈N
+
+
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
+
（2）设cn=anbn，n∈N，求数列{cn}的前n项和Tn．
考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）由2an+1=2an+1，变形为Sn=（1﹣
），利用递推式可得bn．
，利用等差数列的通项公式可得an．由
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出． 解答： 解：（1）∵2an+1=2an+1，∴
∴数列{an}是等差数列，首项a1=1，公差d=． ∴an=1+∵Sn=（1﹣
=），
，
）﹣
=
．
．
，
∴当n≥2时，Sn﹣1=bn=Sn﹣Sn﹣1=（1﹣当n=1时，∴
综上可得：an=（2）cn=anbn=
∴数列{cn}的前n项和Tn=
=∴
=
+． ，
．
=，上式也成立．
．
+?+
+?++?+
， ，
=﹣
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com =+﹣∴Tn=﹣
， ．
点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．（12分）为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元，已知{an}为等差数列，相关信息如图所示．
（1）设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；（总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用）
（2）该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．
考点： 数列与不等式的综合；函数模型的选择与应用． 专题： 应用题；函数的性质及应用．
分析： （1）由题意知，每年的费用是以6为首项，2为公差的等差数列，即可把y表示成n的函数，利用配方法求出y的最大值； （2）年平均盈利=﹣（n+
）+20，利用基本不等式能求出这种设备使用6年，该公司的
年平均获利最大． 解答： 解：（1）由题意，每年的维修费是以6为首项，2为公差的等差数列， ∴an=a1+2（n﹣1）=2n+4， ∴y=25n﹣
﹣36=﹣n+20n﹣36=﹣（n﹣10）+64
2
2
∴n=10时，y的最大值为64万元； （2）年平均盈利=﹣（n+当且仅当n=
）+20≤﹣2
+20=8，
，即n=6时，年平均收益最大．
所以这种设备使用6年，该公司的年平均获利最大． 点评： 本题考查数列在生产实际中的应用，考查基本不等式的运用，确定函数关系是关键． 20．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠BAD=120°，E，F分别为BC，PC的中点． （1）证明：AE⊥PD
（2）若PA=AB=4，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com
考点： 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）由已知条件推导出AE⊥BC，AE⊥AD，由线面垂直得PA⊥AE，由此能证明AE⊥平面PAD，则AE⊥PD；
（2）过E作ES⊥AF于S，连接OS，由已知条件得∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，由此能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值． 解答： （1）证明：如图，
由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， 可得∠ABC=60°，△ABC为正三角形． ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC． 又BC∥AD，因此AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，PA⊥AE． 而PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD， PD?面PAD，∵AE⊥PD；
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD． 过E作EO⊥AC于O，则由面面垂直的性质定理可知：EO⊥平面PAC， ∴EO⊥AF，过E作ES⊥AF于S，连接OS，AF⊥平面ESO， ∴AF⊥SO，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角． 在Rt△AOE中，OE=AEsin30°=，OA=AEcos30°=3， 又F是PC的中点，PA=AC，∴AF⊥PC且AF=FC， 在Rt△ASO中，SO=AOsin45°=又SE=
．
，
在Rt△ESO中，cosESO=．
即二面角E﹣AF﹣C的余弦值为．