∴∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°， ∴FAC=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴∠F=180°﹣90°﹣60°=30°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACF=180°﹣90°， ∴AF=2AC=2×1=2； （2）证明：∵△BDE是等边三角形， ∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°， 在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C， 即∠ADE+60°=∠CBD+90°， ∴∠ADE=30°+∠CBD， ∵∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°， ∴∠HBE=30°+∠CBD， ∴∠ADE=∠HBE， 在△ADE与△HBE中， ， ∴△ADE≌△HBE（SAS）， ∴AE=HE，∠AED=∠HEB， ∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB， 即∠AEH=∠BED=60°， ∴△AEH为等边三角形． 点评： 本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，（2）中求出 ∠ADE=∠HBE是解题的关键． 6．两个等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图1摆放，其中D点在AB上，连接BE． （1）则
= 1 ，∠CBE= 45 度；
（2）当把△DEF绕点C旋转到如图2所示的位置时（D点在BC上），连接AD并延长交BE于点F，连接FC，则
= 1 ，∠CFE= 45 度；
（3）把△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请求出∠CFE的度数
135° ．
考点： 圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；确定圆的条件． 分析： （1）先证明∠ACD=∠BCE，再根据边角边定理证明△ACD≌△BCE，然后根据全等三角形对应边相等和对应角相等解答； （2）根据（1）的思路证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应边相等得BE=AD，对应角相等得∠DAC=∠DBF，又AC⊥CD，所以AF⊥BF，从而可以得到C、E、F、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠CFE=∠CDE=45°； （3）同（2）的思路，证明C、F、D、E四点共圆，得出∠CFD=∠CED=45°，而∠DEF=90°，所以∠CFE的度数即可求出． 解答： 解：（1）∵△ABC和△DCE是等腰三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD， 即∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°， 因此=1，∠CBE=45°； ， （2）同（1）可得BE=AD， ∴=1， ∠CBE=∠CAD； 又∵∠ACD=90°，∠ADC=∠BDF， ∴∠BFD=∠ACD=90°； 又∵∠DCE=90°， ∴C、E、F、D四点共圆， ∴∠CFE=∠CDE=45°； （3）同（2）可得∠BFA=90°， ∴∠DFE=90°； 又∵∠DCE=90°， ∴C、F、D、E四点共圆， ∴∠CFD=∠CED=45°， ∴∠CFE=∠CFD+∠DFE =45°+90° =135°． 点评： 本题综合考查了等边对等角的性质，三角形全等的判定和全等三角形的性质，四点共圆以及同弧所对的圆周角相等的性质，需要熟练掌握并灵活运用． 7．已知△ABC为边长为10的等边三角形，D是BC边上一动点：
①如图1，点E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，当D点滑动时，∠AFE的大小是否变化？若不变，请求出其度数． ②如图2，过点D作∠ADG=60°与∠ACB的外角平分线交于G，当点D在BC上滑动时，有下列两个结论：①DC+CG的值为定值；②DG﹣CD的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请你选择正确的结论加以证明并求出其值． 考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 探究型． 分析： ①∠AFE的大小不变，其度数为60°，理由如下：由三角形ABC为等边三角形，得到三条边相等，三个内角相等，都为60°，可得出AB=BC，∠ABD=∠C，再由BD=CE，利用SAS可得出三角形ABD与三角形BCE全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠BAD=∠CBE，在三角形ABD中，由∠ABD为60°，得到∠BAD+∠ADB的度数，等量代换可得出∠CBE+∠ADB的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BFD的度数，根据对应角相等可得出∠AFE=∠BFD，可得出∠AFE的度数不变； ②连接AG，如图所示，由三角形ABC为等边三角形，得出三条边相等，三个内角都相等，都为60°，再由CG为外角平分线，得出∠ACG也为60°，由∠ADG为60°，可得出A，D，C，G四点共圆，根据圆内接四边形的对角互补可得出∠DAG与∠DCG互补，而∠DCG为120°，可得出∠DAG为60°，根据∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAG=60°，利用等式的性质得到∠BAD=∠CAG，利用ASA可证明三角形ABD与三角形ACG全等，利用全等三角形的对应边相等可得出BD=CG，由BC=BD+DC，等量代换可得出CG+CD=BC，而BC=10，即可得到DC+CG为定值10，得证． 解答： 解：①∠AFE的大小不变，其度数为60°，理由为： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE， 又∠BAD+∠ADB=120°， ∴∠CBE+∠ADB=120°， ∴∠BFD=60°， 则∠AFE=∠BFD=60°； ②正确的结论为：DC+CG的值为定值，理由如下： 连接AG，如图2所示：
∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°， 又CG为∠ACB的外角平分线， ∴∠ACG=60°， 又∵∠ADG=60°， ∴∠ADG=∠ACG，即A，D，C，G四点共圆， ∴∠DAG+∠DCG=180°，又∠DCG=120°， ∴∠DAG=60°，即∠DAC+∠CAG=60°， 又∵∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠BAD=∠GAC， 在△ABD和△ACG中， ∵， ∴△ABD≌△ACG（ASA）， ∴DB=GC，又BC=10， 则BC=BD+DC=DC+CG=10，即DC+CG的值为定值． 点评： 此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆的条件，以及圆内接四边形的性质，利用了等量代换及转化的思想，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． 8．如图，点A、C分别在一个含45°的直角三角板HBE的两条直角边BH和BE上，且BA=BC，过点C作BE的垂线CD，过E点作EF上AE交∠DCE的角平分线于F点，交HE于P． （1）试判断△PCE的形状，并请说明理由； （2）若∠HAE=120°，AB=3，求EF的长．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 专题： 计算题；证明题．
分析： （1）根据∠PCE=∠DCE=×90°=45°，求证∠CPE=90°，然后即可判断三角形的形状． （2）根据∠HEB=∠H=45°得HB=BE，再根据BA=BC和∠HAE=120°，利用ASA求证△HAE≌△CEF，得AE=EF，又因为AE=2AB．然后即可求得EF． 解答： 解：（1）△PCE是等腰直角三角形， 理由如下： ∵∠PCE=∠DCE=×90°=45° ∠PEC=45° ∴∠PCE=∠PEC ∠CPE=90° ∴△PCE是等腰直角三角形 h（2）∵∠HEB=∠H=45° ∴HB=BE ∵BA=BC ∴AH=CE 而∠HAE=120° ∴∠BAE=60°，∠AEB=30° 又∵∠AEF=90° ∴∠CEF=120°=∠HAE 而∠H=∠FCE=45° ∴△HAE≌△CEF（ASA） ∴AE=EF 又∵AE=2AB=2×3=6 ∴EF=6 点评： 此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，解答（2）的关键是利用ASA求证△HAE≌△CEF，此题有一定的拔高难度，属于中档题． 9．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD=BD． （1）求证：∠B与∠AHD互补； （2）若∠B+2∠DGA=180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．
考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： （1）在AB上取一点M，使得AM=AH，连接DM，则利用SAS可得出△AHD≌△AMD，从而得出HD=MD=DB，即有∠DMB=∠B，通过这样的转化可证明∠B与∠AHD互补． （2）由（1）的结论中得出的∠AHD=∠AMD，结合三角形的外角可得出∠DGM=∠GDM，可将HD转化为MG，从而在线段AG上可解决问题．