解答： 证明：（1）在AB上取一点M，使得AM=AH，连接DM， ∵， ∴△AHD≌△AMD， ∴HD=MD，∠AHD=∠AMD， ∵HD=DB， ∴DB=MD， ∴∠DMB=∠B， ∵∠AMD+∠DMB=180°， ∴∠AHD+∠B=180°， 即∠B与∠AHD互补． （2）由（1）∠AHD=∠AMD，HD=MD，∠AHD+∠B=180°， ∵∠B+2∠DGA=180°，∠AHD=2∠DGA， ∴∠AMD=2∠DGM， 又∵∠AMD=∠DGM+∠GDM， ∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM，即∠DGM=∠GDM， ∴MD=MG， ∴HD=MG， ∵AG=AM+MG， ∴AG=AH+HD． 点评： 本题考查了全等三角形的判定及性质，结合了等腰三角形的知识，解决这两问的关键都是通过全等图形的对应边相等、对应角相等，将题目涉及的角或边进行转化． 10．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连接GF．
（1）FG与DC的位置关系是 FG⊥CD ，FG与DC的数量关系是 FG=CD ；
（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 专题： 探究型． 分析： （1）证FG和CD的大小和位置关系，我们已知了G是CD的中点，猜想应该是FG⊥CD，FG=CD．可通过构建三角形连接FD，FC，证三角形DFC是等腰直角三角形来得出上述结论，可通过全等三角形来证明；延长DE交AC于M，连接FM，证明三角形DEF和FMC全等即可．我们发现BDMC是个矩形，因此BD=CM=DE．由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形，∠BED=∠A=45°，因此∠AEM=∠A=45°，这样我们得出三角形AEM是个等腰直角三角形，F是斜边AE的中点，因此MF=EF，∠AMF=∠BED=45°，那么这两个角的补角也应当相等，由此可得出∠DEF=∠FMC，这样就构成了三角形DEF和CMF的全等的所有条件，可得到DF=FC，即三角形DFC是等腰三角形，下面证直角．根据两三角形全等，我们还能得出∠MFC=∠DFE，我们知道∠MFC+∠CFE=90°，因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°，这样就得出三角形DFC是等腰直角三角形了，也就能得出FG⊥CD，FG=CD的结论了． （2）和（1）的证法完全一样． 解答： 解：（1）FG⊥CD，FG=CD． （2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM， ∴四边形BCMD是矩形． ∴CM=BD． 又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形， ∴ED=BD=CM． ∵∠AEM=∠A=45°， ∴△AEM是等腰直角三角形． 又F是AE的中点， ∴MF⊥AE，EF=MF，∠EDF=∠MCF． ∵在△EFD和△MFC中 ， ∴△EFD≌△MFC． ∴FD=FC，∠EFD=∠MFC． 又∠EFD+∠DFM=90°， ∴∠MFC+∠DFM=90°． 即△CDF是等腰直角三角形， 又G是CD的中点， ∴FG=CD，FG⊥CD．
点评： 本题中通过构建全等三角形来证明线段和角相等是解题的关键． 11．如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q． （1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断并证明EH与FH的大小关系吗？ （3）图2中的△ABC与△AEF的面积相等吗？（不用证明）
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 分析： （1）根据全等三角形的判定得出△ABG≌△EAP，进而求出AG=EP．同理AG=FQ，即EP=FQ． （2）过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．根据全等三角形的判定和性质即可解题． （3）由（1）、（2）中的全等三角形可以推知△ABC与△AEF的面积相等． 解答： 解：（1）EP=FQ，理由如下： 如图1，∵Rt△ABE是等腰三角形， ∴EA=BA． ∵∠PEA+∠PAE=90°， ∠PAE+∠BAG=90°， ∴∠PEA=∠BAG 在△EAP与△ABG中， ， ∴△EAP≌△ABG（AAS）， ∴EP=AG． 同理AG=FQ． ∴EP=FQ． （2）如图2，HE=HF． 理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．
由（1）知EP=FQ． 在△EPH与△FQH中， ∵， ∴△EPH≌△FQH（AAS）． ∴HE=HF； （3）相等．理由如下： 由（1）知，△ABG≌△EAP，△FQA≌△AGC，则S△ABG=S△EAP，S△FQA=S△AGC． 由（2）知，△EPH≌△FQH，则S△EPH=S△FQH， 所以S△ABC=S△ABG+S△AGC=S△EAP﹣S△EPH+S△FQA﹣S△FQH=S△EAP+S△FQA=S△AEF，即S△ABC=S△AEF． 故图2中的△ABC与△AEF的面积相等． 点评： 本题考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形内角和为180°的性质，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证△AFQ≌△CAG是解题的关键． 12．已知如图1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F． ①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系．
②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？ ③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 专题： 计算题；证明题． 分析： （1）根据EF∥BC，∠B、∠C的平分线交于O点，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上题目中给出的AB=AC，共5个等腰三角形；根据等腰三角形的性质，即可得出EF与BE、CF间有怎样的关系． （2）根据EF∥BC 和∠B、∠C的平分线交于O点，还可以证明出△OBE和△OCF是等腰三角形；利用几个等腰三角形的性质即可得出EF与BE，CF的关系． （3）EO∥BC和OB，OC分别是∠ABC与∠ACL的角平分线，还可以证明出△BEO和△CFO是等腰三角形． 解答： 解：（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF=BE+CF=2BE=2CF．理由如下： ∵EF∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， 又∠B、∠C的平分线交于O点， ∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB， ∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC， ∴OE=BE，OF=CF， ∴EF=OE+OF=BE+CF． 又AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC， ∴EF=BE+CF=2BE=2CF； （2）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF； 第一问中的EF与BE，CF的关系是：EF=BE+CF． （3）有，还是有2个等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE﹣CF，理由如下： ∵EO∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG（G是BC延长线上的一点） 又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACG的角平分线 ∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCG， ∴∠EOB=∠EBO， ∴BE=OE， ∠FCO=∠FOC， ∴CF=FO， 又∵EO=EF+FO， ∴EF=BE﹣CF．
点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是步骤繁琐，属于中档题，还有第（1）中容易忽略△ABC也是等腰三角形，因此这又是一道易错题．要求学生在证明此题时一定要仔细，认真．