空间几何体的表面积和体积
1．(2012·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )
8
A．8 B. 34
C．4 D. 3
2．(2012·山西模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝3，
BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为( )
A.51 C．251
B．351 D．651
3．(2012·马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )
A．4π C．5π
B.D.15
π 417π 4
4．(2012·济南模拟)用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为( )
A．24 C．22
B．23 D．21
5．(2012·江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( )
1
A.11
2
B．5 D．4
9
C. 2
6.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱
AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积( )
A．与点E，F位置有关 B．与点Q位置有关 C．与点E，F，Q位置都有关 D．与点E，F，Q位置均无关，是定值
7．(2012·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
8．(2012·上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．
9．(2013·郑州模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
10．(2012·江西八校模拟)如图，把边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使
AC＝6.
(1)求证：面ABEF⊥面BCDE； (2)求五面体ABCDEF的体积．
2
11．(2012·大同质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
(1)求证：DE∥平面PBC； (2)求三棱锥A－PBC的体积．
12．(2012·湖南师大附中月考)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．
(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； (2)证明：A1C⊥平面AB1C1.
1．(2012·潍坊模拟)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线
AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于( )
A．8π B．16π
C．482π D．不确定的实数
2．(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝
AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.
3．(2013·深圳模拟)如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB＝2，BD＝2，沿BD将△BCD折起，使二面角A－BD－C是大小为锐角α的二面角，设C在平面ABD上的射影为O.
(1)当α为何值时，三棱锥C－OAD的体积最大？最大值为多少？ (2)当AD⊥BC时，求α的大小．
3
[答 题 栏]
1._________ 2._________ 3._________ A级 4._________ 5.__________ 6._________ 7. __________ 8. __________ 9. __________ 答 案
课时跟踪检测(四十一)
A级
1．D 2.A 3.D 4.C
5．选D 由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1的直棱柱，因此只1
需求出底面积即可．由俯视图和主视图可知，底面面积为1×2＋2××2×1＝4，所以该几
2何体的体积为4×1＝4.
1?116?6．选D 因为VA′－EFQ＝VQ－A′EF＝×?×2×4?×4＝，故三棱锥A′－EFQ的体积与点3?23?
B级 1.______ 2.______ E，F，Q的位置均无关，是定值．
7．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为顶点和底面中心即为高，可求得高为
2
6
2122，所以体积V＝×1×1×＝. 2326
3
，连接2
答案：
8．解析：因为半圆的面积为2π，所以半圆的半径为2，圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，所以圆锥的高为3，体积为3π 3
3
π. 3
答案：
9．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长
a＋b＝6，??222
方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则?b＋c＝5，
??c2＋a2＝52，
2
2
2
2
2
2
2
222
得a＋b＋c＝43，即(2R)＝a＋b＋c＝43，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为
4
4πR＝43π. 答案：43π
10．解：设原正六边形中，AC∩BE＝O，DF∩BE＝O′，由正六边形的几何性质可知OA＝OC＝3，AC⊥BE，DF⊥BE.
(1)证明：在五面体ABCDE中，OA＋OC＝6＝AC， ∴OA⊥OC，
又OA⊥OB，∴OA⊥平面BCDE. ∵OA?平面ABEF， ∴平面ABEF⊥平面BCDE.
(2)由BE⊥OA，BE⊥OC知BE⊥平面AOC，同理BE⊥平面FO′D，∴面AOC∥平面FO′D，故AOC－FO′D是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥B－AOC和E－FO′D为大小相同的三棱锥，
∴VABCDEF＝2VB－AOC＋VAOC－FO′D
11122
＝2×××(3)×1＋×(3)×2＝4.
322
11.解：(1)证明：如图，取AB的中点F，连接DF，EF. 在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，CD＝2，所以BF綊CD. 所以四边形BCDF为平行四边形． 所以DF∥BC.
在△PAB中，PE＝EA，AF＝FB， 所以EF∥PB.
又因为DF∩EF＝F，PB∩BC＝B， 所以平面DEF∥平面PBC. 因为DE?平面DEF， 所以DE∥平面PBC. (2)取AD的中点O，连接PO. 在△PAD中，PA＝PD＝AD＝2， 所以PO⊥AD，PO＝3.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PO⊥平面ABCD.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB， 且AB＝4，AD＝2，
2
2
2
2
AB⊥AD，
5