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培优限时训练九
设函数f(x)?x3?ax2?a2x?m(a?0)．
（1）若函数f(x)在x???1,1?内没有极值点，求实数a的取值范围； （2）a?1时函数f(x)有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；
（3）若对任意的a??3,6?，不等式f(x)?1在x???2,2?上恒成立，求实数m的取值范围．
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培优限时训练九参考答案
解：（1）由题设可知，方程f/(x)?3x2?2ax?a2?0在??1,1?上没有实数根，
?f/(1)?3?2a?a2?0?/2∴?f(?1)?3?2a?a?0，解得a?3． ………4分 ?a?0?（2）当a?1时f(x)?x3?x2?x?m，∵f(x)有三个互不相同的零点， ∴f(x)?x3?x2?x?m?0即m??x3?x2?x有三个互不相同的实数根． 令g(x)??x3?x2?x，则g/(x)??3x2?2x?1??(3x?1)(x?1) ∵g(x)在(??,?1)和(,??)均为减函数，在(?1,)为增函数， ∴g(x)极小?g(?1)??1,g(x)极大?g()?所以m的取值范围是(?1,1313135 275)． ………………8分 27a/22（3）∵f(x)?3x?2ax?a?3(x?)(x?a),又a?0，
3aa∴当x??a或x?时，f/(x)?0；当?a?x?时，f/(x)?0．
33aa∴函数f(x)的递增区间为(??,?a)和(,??),单调递减区间为(?a,)
33a当a??3,6?时， ??1,2?,?a??3， 又x???2,2?，∴f(x)max?max?f(?2),f(2)?
3而f(2)?f(?2)?16?4a?0，∴f(x)max?f(?2)??8?4a?2a2?m， 又∵f(x)?1在??2,2?上恒成立，∴f(x)max?1即?8?4a?2a2?m?1， 即m?9?4a?2a在a??3,6?上恒成立．
22∵9?4a?2a2的最小值为?87， ∴m??87. ………12分
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培优限时训练十
已知函数
f(x)?alnx?ax?3(a?R且a?0)．
（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数y?f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率为1，问： m在什么范围取值时，对于任意的t?[1,2]，函数g(x)?x?x[32m?f?(x)]在区间(t,3)上总存在极值？ 2
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培优限时训练十参考答案
解：（Ι）由
f?(x)?a(1?x)知： x当a?0时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,??)；
当a?0时，函数f(x)的单调增区间是(1,??)，单调减区间是(0,1)；………………6分 （Ⅱ）由
f?(2)??a?1得a??2 2f'?x??2?2x. ………………………8分
∴f(x)??2lnx?2x?3，m?m?g(x)?x3?x2??f'(x)??x3?(2?)x2?2x2?2? 2g'(x)?3x?(4?m)x?2, ∴
∵ 函数g(x)在区间(t,3)上总存在极值，
∴g?(x)?0有两个不等实根且至少有一个在区间(t,3)内…………10分 又∵函数g?(x)是开口向上的二次函数，且
g?(0)??2?0，
?g?(t)?0∴? …………12分
?g(3)?0?由所以
g?(t)?0得m?22?3t?4，∵H(t)??3t?4在[1,2]上单调递减， tt37； 3∴m??9，由g?(3)?27?3(4?m)?2?0，解得m??H(t)min?H(2)??9；
综上得：?3737?m??9 所以当m在(?,?9)内取值时，对于任意t?[1,2]，函数33mg(x)?x3?x2[?f?(x)]，在区间(t,3)上总存在极值 . …………14分
2
培优限时训练十一
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已知函数f(x)?(Ⅰ) 若点(1,?极大值；
13x?ax2?bx(a,b?R) 。 311)在函数y?f(x)图象上且函数在该点处的切线斜率为-4,求y?f(x)的3(Ⅱ)若y?f(x)在区间[－1,2]上是单调减函数,求a?b的最小值。
培优限时训练十一参考答案
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