湖南农业大学课程论文
学 院： 班 级： 姓 名： 学 号： 课程论文题目：数学建模 课程名称：数学建模 评阅成绩： 评阅意见：
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日
数学建模
学生：
(X学院，学号)
摘要： 本文要解决的问题小孩沿着曲线行走，玩具的运动轨迹以及产量关于温度的线性
回归方程。 首先，对问题进行重述明确题目的中心思想，做出合理的假设，对于玩具轨迹画图表明，并对符号做简要的说明。 然后，对问题进行分析，根据图示假设设立方程。最后使用MATLAB软件求解上述模型。
关键词：玩具轨迹 线性回归 预测区间 建立模型
一、 问题的重述
（一）玩具轨迹问题
一个小孩借助长度为a的硬棒，拉或推某玩具.此小孩沿某曲线行走，计算并画出玩具的轨迹。
（二）线性回归问题
考察温度x对产量y的影响，测得下列10组数据：
温度（℃）20产量（kg）13.22515.13016.43517.14017.94518.75019.65521.26022.56524.3求y关于x的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测x=42℃时产量的估值及预测区间（置信度95%）.
二、 模型的基本假设
（一）玩具轨迹问题
图 1
假设1：小孩B点所走曲线为沿着小 棒a的方向（直线AB），则玩具A走的轨 迹为直线（沿AB方向的）。此时，小孩行 走的速度与玩具的速度相同。
C A 图 2
B
a
A
图 3
假设2：小孩B点所走曲线为一个A点 为心的圆，则玩具不动。此时，如果小孩B 行走的速度为v，而玩具A的速度却为零， 这说明，在推玩具的过程中，小孩B的速度 与玩具A的速度不同。
由此特殊情况，我们可以看到，当小孩B行走的路线是曲线时，小孩B的速度vB与玩具A的速度vA是不同的。
假设3：如果小孩B点走的轨迹是一条曲线c（图4 ），不妨设曲线的轨迹方程是一个与时间t有关的参数方程。而玩具A走的轨迹为曲线c′。
B
AaA'（二）线性回归问题
(x(t),y (t)) 假设：x―――表示温度 y―――表示产量B'图4 (X(t),Y(t))
三、 符号说明 （一）玩具轨迹问题
?X?X(t),?x?x(t),? c:? c:?Y?Y(t),y?y(t).??
则t时刻小孩B?的坐标为B?(X(t),Y(t))， 玩具A?的坐标为A?(x(t),y(t))。
（二）线性回归问题
x表示温度 y表示产量
四、 问题分析
（一）玩具轨迹问题
t时刻，由于A?B?的距离为a，由于小孩拉的是硬棒，在小孩拉玩具的过程中，
假设棒与地面的角度不变，因此有：
(X(t)?x(t))2?(Y(t)?y(t))2?a2， 即(X?x)2?(Y?y)2?a2 （1）
设玩具在A?点的速度vA?，则vA?的方向应为玩具所走曲线c?的切线方向，而玩具始终是沿着小棒A?B?的方向，所以：
A?B???vA'
而A?B??(X?x,Y?y),vA??(x?,y?) 所以：
X?xY?y????0 X?x??x?，Y?y??y?(2) x?y?又
vB??(X?,Y?)，由向量知识有A?B??vB??|A?B?|?PrjA?B?vB?
A?B??vB?
|A?B?|(X?x,Y?y)?(X?,Y?)(X?x)?(Y?y)22简化得：|vA'|??故有vA??(x?)2?(y?)2??，
化简得 vA??(x?)2?(y?)2?
(X?x)?X??(Y?y)?Y?(X?x)?(Y?y)22。
小孩所走曲线为一个以原点为圆心半径为R的圆时，小孩所走路径的曲线方程为：
?X?a?cost， ??Y?a?sint
（二）线性回归问题
题目已经给出该问题是求y关于x的线性回归方程，从给出的数据进行分析，该问题是一元线性回归问题，即求出温度与产量的一元线性关系。求出线性方程后，在x=42处对y作预测并对y作区间估计。
五、 模型建立
（一） 玩具轨迹问题
利用MATLAB软件求解上述微分模型，程序如下：
函数文件：
建立函数文件fun5.m function dy=fun5(t,y)
dy=[(-5*sin(t)*(5*cos(t)-y(1))+5*cos(t)*(5*sin(t)-y(2)))*(5*cos(t)-y(1))./((5*cos(t)-y(1))^2+(5*sin(t)-y(2))^2),
(-5*sin(t)*(5*cos(t)-y(1))+5*cos(t)*(5*sin(t)-y(2)))*(5*sin(t)-y(2))./((5*cos(t)-y(1))^2+(5*sin(t)-y(2))^2)]
主程序： clear,clc close all
[t,y]=ode45('fun5',[0,100],[10,0]); X=5*cos(t); Y=5*sin(t); figure(1)
plot(X,Y,'r.') hold on
plot(y(:,1),y(:,2),'*')
%玩具的初始位置为(12,0) t0=0;tf=100;
[t,y]=ode45('fun5',[t0,tf],[12,0]); X=5*cos(t); Y=5*sin(t); figure(2)
plot(X,Y,'r.') hold on
plot(y(:,1),y(:,2),'*')
%玩具的初始位置为(8,0) t0=0;tf=100;
[t,y]=ode45('fun5',[t0,tf],[8,0]); X=5*cos(t); Y=5*sin(t); figure(3)
plot(X,Y,'r*') hold on
plot(y(:,1),y(:,2),'.')
（二）线性回归问题
1、对题目所给数据进行分析。
2、根据题目要求，求y关于x的线性回归方程。
3、由题中要求，由于求解线性方程后，要对某一x值进行估值，因此排除多元线性回归的regress(x,y,alpha)命令，而采用多元二项式回归命令中的：rstool(x,y,’model’,alpha)命令，因为要求解一元线性回归方程，因此要将命令中的model参数确定为linear,即线性模型
六、 模型评价与应用
（一）模型的优点
1、运用了一些图形，用数形结合法来进行分析，是模型思路更加清晰，更具有说服力；
2、通过利用数学工具严格地对模型求解，更加科学；
3、进行了合理的假设，使实际复杂的问题转化为较为简单的数学问题，抽象的问题具体化；
4、在解决各个问题时，我将各个问题间的关系联系起来，是问题变得较为容易解决。
（二）模型的缺点
数学建模问题比较复杂，变量多、数学表达式复杂，计算机难以处理，简化模型必不可少。数学建模不同于求解纯数学问题，没有标准答案，模型只能近似地反映实际问题中的关系，是否合理只能根据实际情况来检验。
七、结束语
通过以上实例可见，数学建模为我们在生活中解决问题提供了一定的指导意义，有较好的借鉴作用。数学建模是一种科思维方法，更是一门艺术，需要转变理念和创新思维。目前尚没有一个具有普遍意义的建模方法和技巧，因此，我们要亲自参与实践，多体会，融合建模艺术，勇于开拓创新，使数学建模为提高各种领域的管理效益作出应有的贡献。
参考文献
[1]董臻圃，数学建模方法与实践.北京：国防工业出版社，2006.8
[2]湖北省大学生数学建模竞赛专家组，数学建模（本科册）.武汉：华中科技大学出版社，2006.6。
[3]李柏德，数学建模方法.兰州：甘肃教育出版社.2006.5。 [4]阮晓青，周义仓，数学建模引论，北京：高等教育出版社 [5]钱颂迪，甘应受等，运筹学，北京：清华大学出版社
[6]杨光煜，张雷顺，对最大化指派问题的匈牙利解法的一点改进，郑州工业大学学报，第22卷 第二期，2001.6
[7]袁震东,蒋鲁敏,束金龙，数学建模简明教程，上海，华东师范大学出版社，2002年出版
[8]蔡锁章，数学建模，北京，中国林业出版社，2003年出版 [9]方世昌，离散数学（第二版），西安，西安电子科技大学出版社，1985年出版
[10]严蔚敏,吴伟民，数据结构（C语言版），北京，清华大学出版社，1997年出版
[11]谭浩强，C程序设计（第三版），北京，清华大学出版社，2005年出版