第一章 解三角形
§1.1 正弦定理（1）
1. C 2. C 3. D 4. D 5. 2 6. 30? 7. 3
acosB?3asinA8. 解：由已知得 ，由正弦定理得?，
bsinA4bsinBcosB?3?co2sB?9si2nB?c2oBs? 7 ?sinB41625222?a?25?a?5. 由已知得acosB?9349．解： 由题意，得cosB?，B为锐角，sinB?，
551. C 2. C 3. D 4. B 5. 120? 6. 7.
61?303 61 8. b?22,?A?60?. 29. 从木条的中点处锯断时AC最短.
????????33310. 解: 由BA?BC?得ca?cosB?. 由cosB?得ca?2，
224 即b2?2，由余弦定理b2?a2?c2?2accosB 得 a2?c2?b2?2accosB?5
222?a?c?2ac?5?4 ?9,a?c?3 (a?c) ?
§1.4 余弦定理（2）
1. B 2. A 3. C 4. D 5. 直角三角形
16. 10 7. ?
78. 解：?lga?lgc?lgsinB??lg2,?lga?lgsinB?lg2 c2 ?a?sinB?2c2,?B?(?0,2?)B,? sinA?sin(π?B?C)?sin3π?B?72，
41011104810 由正弦定理得c?，?S?ac?sinB??2???．
22757710. 证明：（1）∵A?B, ∴a?b?2RsinA?2RsinB， ∴sinA?sinB.
abc（2）根据正弦定理，可设 = = = k, k?0,
sinAsinBsinCa2?b2?k2sin2A?k2sin2B ∴左边=
c2k2sin2Csin2A?sin2B ==右边.
sin2C??由?. 45c?2a得
§1.2 正弦定理（2）
1. D 2. C 3. B 4. D 解: 由已知切化弦得 a2sinB?b2sinA , 得sinAcosA?sinBcosB
cosBcosA ?sinA2?siBn?2A?B或A?B?90?.
5
46. 解：由AD2?BC2?2(AB2?BC2)?BC2?2(1?3)?22?4
2?A2B?BC2?A?90?得R=1. ?BC2?2?AC7. 7∶5∶3.
22222 cosB?a?c?b?3a?b2?2?a2?b2?a?b
2ac222a 故?ABC是等腰直角三角形.
9. 解：设BC?x，则AC?2x. 根据面积公式
1B?x?1c2oBs，由余弦定理得 S?ABC?AB?BCsin2222222 cosB?AB?BC?AC?4?x?(2x)?4?x，
2AB?BC4x4x222 ?S?ABC?x1?(4?x)2?128?(x?12).
4x165.
??2x?x?2?22?2?x?22?2， 由三角形的三边关系有???x?2?2x 故当x?23时，S?ABC的最大值是22.
410. （1）解：法一：?A(3,4),B(0,0)?AB?5,sinB?
58. （1）A = 60?, C = 75?, c?6?2
2 或A = 120o, C =15?, c?6?2.
2 当c?5时，BC?5,AC?(5?3)2?(0?4)2?25， 由正弦定理BC?AC?sinA?25.
sinAsinB5 法二：由AB?5,BC?5,AC?25，由余弦定理有
22?B2CA?AB?AC?5?sAin?25. cos2AB?AC55（2）?AB?5,BC?c,AC2?(c?3)2?42，
25(6?2). 2cosA?b,sinB?bcosA?sinB9. 解：（1）由可得
cosBasinAacosBsinAAcoAs?sBinBcos?As?in2 B ?sin （2）B?30?,C?105?,c?,?2?A?? ?a?b?2?B,???A?B? ?2 ∴?ABC是直角三角形.
AB2?AC2?BC2，若?A为钝角，
2AB?AC25 则cosA?0?52?(c?3)2?42?c2?50?6c?0?c?.
3
由余弦定理cosA??a2?b2?102? （2）由?b4?a?6,b?8.
???a3a?b?sinA?sinB10. 证明:
sinAsinBabsinA)2?(sinB)2?sin2A?sin2B?( aba2b21?cos2A?1?cos2B?cosA2?coBs?2?11 ?. 222222ababab
§1.5 正弦定理与余弦定理的应用
1. B 2. D 3. C 4. C 5. 156米;
5?6. 152km; 7.
628. 解：由2cosAsinB＝sinC 得2cosAsinB＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB，sinAcosB－cosAsinB＝0， 即sin(A－B)＝0， ∴A＝B，又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab
a2?b2?c2?1 得a2?b2?c2?ab,cosC?，∴C＝60°，
2ab2 ∴三角形为等边三角形． - 1 -
§1.3 余弦定理（1）
9. 解：在?ABC中，AB?AC?50，?BAC?60?， ∴?ABC??ACB?60?，BC?50,
∴在?BCP，?PBC?60?，?BCP?75?，
CP?BC,?CP?256 ?BPC?45?, 由正弦定理 sin60?sin45? 在?ACP中，由余弦定理得： AP2?AC2?CP2?2AC?CPcos135? ?2500?625?6?2?256?50?2
2 ?6250?25003?625(10?43)，?AP?2510?43(m) 答：隧道AP的长为2510?43米． 10. 解：在△ABC中： AB＝12 AC＝20 ?BAC=50?+70?=120?
BC2?AB2?AC2?2AB?ACcos?BAC
1 ?122?202?2?12?20?(?)?784, BC=28
2 即追击速度为28mile/h 又：∵△ABC中， 由正弦定理：
AC?BC, ∴sinB?ACsinA?53
sinBsinABC14 由正弦定理得：sinBcosA?sinAcosB?A?B.
????????（2）?AB?AC?1?bccosA?1. 由余弦定理得：bc?b2?c2?a2?1，即b2?c2?a2?2，
2bc 由（1）知a?b,?c2?2?c?2. ????????????????????????（3）由|AB?AC|?6?|AB|2?|AC|2?2?|AB?AC|?6 ?c2?b2?2?6?c2?b24??c22??b. ?2 ??ABC为正三角形. ?S?ABC?3?(2)2?3.
42
§1.7 解三角形单元测试题
1．D； 2．A； 3．B； 4．B； 5．A； 6．D； 7．D； 8．D； 9．B； 10. B.
11. 1＜m＜3 解： 三边m、m＋1、m＋2中， 显然m＋2为最大边，设其所对的角为α， ∵在同一个三角形中，大边对大角, ∴α为钝角，cosα＜0
2m2?(m?1)?(m?22)?co?s??0?2m(m?1) ?
?m?m?1?m?2m,?0? 解之得1＜m＜3 12. 91 sinA113．.由比例性质，题中式子?,
a41 由S?ABC?bcsinA可得c?23,从而a?2, 代入即得.
2 ∴B?arcsin53=38.21?
14 ∴ BC的方位角为50?+38.21?=88.21? ∴我舰应以28mile/h速度，沿方位角为88.21?的方向航行，则可以1小时追上敌舰.
§1.6 解三角形的综合问题
1. D 2. B 3. C 4. B 5. 20 6. 正三角形 7. 45?,30?,105?.
14．92
88．解：在?BCD中，?BDC?90?,CD?1,?BCD?45?，
15. （1）由a?2bsinA，根据正弦定理得
?BC?2.在?ACD中，?CAD?180??(60??45??30?)?45?,
sinB?1， sin，所以A?2sBinsAin2 ?CD?AC?AC?2. 在?ABC中，
sin4?5si?n302π 由?ABC为锐角三角形得B?．
622AC?BC?cos60??3?AB?6， AB2?AC2?BC?（2）根据余弦定理，b2?a2?c2?2accosB?27?25?45?7． 22 所以，b?7．
∴ 航速为6千米/分钟.
416. 解：（1）由已知及余弦定理得：a2?b2?ab?4，
9．解：如图，连结BD，则四边形ABCD的面积 1 又S?ABC?3,?absinC?3?ab?4， S?S?S 2?ABD?CD2211?a?b?ab?4 ?AB?AD?sinA?BC?CD?sinC, ?a?2,b?2. 由?22?ab?4 A?C?180?,
（2）由sinC?sin(B?A)?2sin2A?sinB?cosA?2sinA?cosA
?sin A?sCin1 （i）当cosA?0时，A??,B??,a?43,b?23； ∴S?(AB?AD?BC?CD)?sinA 26332 （ii）当cosA?0时，sinB?2sinA，由正弦定理得b?2a， 1 =(2?4?6?4)?sinA?16sinA, 22?a?b?ab?42?a?23,b?43， 由?34 由余弦定理，在?BCD中. ?ab?4222 BD?BC?CD?2B?CcCoDs?5C2?48c osC ?S?ABC?1absinC?23. 222 在?ABD中, BD?AB?AD?2AB?ADcosA 23222 =…=20?16cosA
17. 解：（1）由已知得．cosA?b?c?a?bc?1，
?52, c ?48cCo?s?201A62bc2bc2s??coAs,64Ac?o?s, ?coC 又?A是△ABC的内角，所以?A??．
3A??1?,A?1?2, 0 ?cos2（2）由正弦定理得：bc?a2， ? ?S?16sin12?0. 83 又 b2?c2?a2?bc，∴ b2?c2?2bc，
????????????????210．解：（1）由AB?AC?BA?BC?bccosA?accosB， ∴ ?b?c??0，即 b?c． 北 即bcosA?acosB， 所以△ABC是等边三角形．
- 2 -
120?A2B2
18. 解: 如图，连结A1B2， 由已知A2B2?102，
20 A1A2?302??102，
60 ?A1A2?A2B，2 又?A1A2B2?180??120??60?， ??A1A2B2是等边三角形， ?A1B2?A1A2?. 102 由已知A1B1?20,?B1A1B2?105??60??45?，在?A1B2B1中，
22?A1B12?A1B2?2A1B1?A1B2?cos45??200， 由余弦定理知：B1B2 ?(a3?a6?a9)?(a2?a5?a8)?3d?33?3?30.
9．解：(1)由题意，有a1?100，d??10，an??10n?110
?18??10n?110（2）所以，，
?10n?110?18? 即
?12.8，又n?N, ?n?10,11,12， ?nn?9.2? 数列?an?中有三项属于区间[?18,18].
10．证明: 知数列?an?是等差数列,可设其公差为d. 那么an?1?an＝d.an?an?1?d, 根据题意可知:
2222 bn?bn?1?an?1?an?(an?an?1)
?B1B2?102，
因此，乙船的速度大小为：102?60?302（海里/小时）
20 答：乙船每小时航行302海里.
=(an?1?an)?(an?1?an)-(an?an?1)?(an?an?1) (an?1?an)?d-(an?an?1)?d=(an?1?an?1)?d?2d2＝常数. 所以数列?bn?也是等差数列.
§2.3 等差数列的性质
1.C 2. A 3. B 4. C 5. ⑴?3，⑵?3. 6. ?4 7. ①③ 8. 解：设成等差数列的四个数为a1,a2,a3,a4，
a?a?a?a?26a?a?13 由题意得: 1234 所以23
a2?a3?40a2?a3?40第二章 数列
§2.1 数列的概念与简单表示
11. C; 2. B; 3. D; 4. C; 5．an?(?)n； 6．31；
3??a?5a?8或? 得? 故所求的四个数为2，5，8，11. a?8a?522337．（1）an?(?1)n （2）an?n?1 1?(?1)n2n?1a? （4） n22n71?(0.1)n）（5）an?1?(0.1)n （6）an?（
98．解：（1）an?2n?3
（2）令2005?2n?3，得n?1001. 9．解：（1）3不是这个数列的项；
（2）函数y??2x2?29x?3的图像的是开口向下的抛物线，
n2（3）an?(?1)n?119. 解：依题意an?1?an?,n?N*.
21
∴?an?是等差数列，公差d?,
2
n?1?n?3 ∴an?a1?(n?1)d?2?
22n?3 故通项公式为an?.
210．解：（1）由1?1?2(n?2,n?N*) ?n?2时
an?1an?1an2929，最接近的正整数是7， 44 所以最大项a7?108，是第7项.
对称轴是x? 1?1?1?1得1为等差数列. an?1ananaan-n11?2（2）公差d=1?1?4?1?1 ?1?1?(n?1? ,)1?na2a133ana1333??10．解：（1）由已知得：a2?2a1?2?2， a1?21?23212a32?222a22?31??， ??, a4? a3?a3?21?25a2?22?222322a42?51??. a5?a4?22?2352（2）猜想：通项公式为an?.
n?12?2??2（3）an?1?an?. 2n?2n?1n?3n?2
?1?1?50?2?52,?a50?3
a5033352
§2.4 等差数列求和（1）
1. A 2. A 3. C 4. B 5. 210 6．45 7. ①④ 8．解：S??(1?2?3?4???99?100)??5050 9．解：依题意，可知：S11?55 11?10d?5511a1? ?S11?, 又?a1??5 2 ?d?2，?an??5?(n?1)?2?2n?7 设抽去的项为am(1?m?11)，则
2?7?)1?0 55?(m, 解得m?11，
所以，抽去的项是a11.
133110．解：?d?,an?, ??a1?(n?1)? --------①
2222315 ?an?,Sn??,
22(a1?3)n152 ---------② ??? 22 由①②解得，a1??3,n?10.
§2.2 等差数列的概念与通项
1. C 2. C 3. A 4. B 5．①③
6．解：?a?6,?3a?5,?10a?1成等差数列,
a?5)?a(?6)?(?a10?1?a), (3? ?(?3解得a?1,
7．13
8．解：设公差为d
36,a2?a5?a8?3 3 ?a1?a4?a7? ?(a2?a5?a8)?(a1?a4?a7)?3d?33?36??3 ?(a3?a6?a9)?(a2?a5?a8)?3d??3
§2.5 等差数列求和（2）
- 3 -
1. B; 2. D; 3. B; 4. C; 5. 9; 6. 解: 由题意,得, 一昼夜内它共敲:
?2?3???12?)1?2?2(下) 2?(19. 解：解得方程两根为1和3，由q?1，故a2004=1，
2223 a2005=. ∴q=a2005?a2004=3，
213?322 a200?+)=18. 6a2=(0a2004+a2005)q=(
2210．解：设数列{an}的公比为q，则依题意有
82 a1q3?1,a1q?a1q5?.
9 两式相除并整理得9q4－82q2＋9＝0.
1 解得q2＝9或q2＝.
9 ∵数列各项均为正数，∴公比q＞0. ∴公比q＝3或q＝1.
3当公比q?3时,由a1q3?1得a1?1.?an?1?3n?1?3n?.42727
113n?1n?4当公比q?时,由a1q?1得a1?27.?an?27?()?3.33n?44?n ∴数列{an}的通项公式为an?3或an?3.
(n?1)?5,7．an??
?2n?2,(n?2)8．10 提示：{an?an?1?an?2}仍为等差数列
29．解：由 S9?S17解得d??a1, ?a1?0,?d?0，
25n(n?1)d2d?n?13dn，?n?13时，Sn最大. Sn?na1?2210．解：设等差数列{an}公差为d，
1 则Sn=na1+n(n－1)d ∵ S7 = 7，S15 = 75，
27a?21d?7a?3d?1 ∴1 ∴ a1=－2，d =1， ?115a1?105d?75a1?7d?5??Sn11=a1+(n－1)d=－2+(n－1)
22nSS1 ∵n?1－n=
n?1n2S1 ∴{n}为等差数列，其首项为－2，公差为，
2n19 ∴Tn＝n2－n．
44
∴§2.8 等比数列的性质
131. B; 2. C; 3. A; 4. A； 5.?11, 6. 7.15
16118．解：a3a8?a4a7??512,a3?a8?124
§2.6 等差数列的综合问题
1. C 2. D 3. C 4. B 5. 25 6. 2 7. 20 8．解：（1）由a10?30,a20?50,得
a?9d?30, a1?19 . 解得a1?12,d?2. 所以an?2n?10. d?501?（2）由Sn?na1?n(n?1)d,Sn?242得 2n(n?1)n??2?24.n?11或n??22(舍去). 12 2得
242，34，....的公差为?5，所以 9．解：数列5，7772n?521125?（n?）1(?5）=]75n?5n??5（n?15）? Sn?[2. 27141425615 ∴当n取与最接近的整数7或8时，Sn取最大值.
210．解:（1） n＝1时 8a1?(a1?2)2 ∴a1?2
?a3?128?a3??4 ?? 或??a8??4?a8?128 ?q?Z?a10?512
9．解：设A角为最小角，则
cA?coBs?a?a sin，而由题意得：b2?ac 2cc2B?b2?b(2?)s2Bin??12Bc, os ?coscc 所以，解得cosB?5?1，?sinA?5?1.
2210．解：（1）设?bn?的公比为q，?bn?3an, ?3a1?qn?1?3an?an?a1?(n?10log3q 所以?an?是以log3q为公差的等差数列.
（2）?a8?a13?m 所以由等差数列性质得a1?a20?a8?a13?m (a1?a20)?20?10m? 2???a2010m?3. b1b2?b20?3a1?a2
n＝2时 8(a1?a2)?(a2?2) ∴a2?6
n＝3时 8(a1?a2?a3)?(a3?2)2∴a3?10 （2）∵8Sn?(an?2)2 ∴8Sn?1?(an?1?2)2(n?1) 两式相减得: 8an?(an?2)2?(an?1?2)2
即an2?an?12?4an?4an?1?0，也即(an?an?1)(an?an?1?4)?0， ∵an?0 ∴an?an?1?4
即{an}是首项为2，公差为4的等差数列， ∴an?2?(n?1)?4?4n?2.
2 ?a1?a2???a2?0§2.9 等比数列求和（1）
1. D 2. A 3. C 4. D 5. n?7 6.?17.458.105
9．解：（1）当q?1时，则有3a1?6a1?18a1?a1?0， 与数列?an?是等比数列矛盾，?q?1 （2）q?1时，条件化为
§2.7 等比数列的概念与通项
1 7. ①②③④ 48. 解：依题意an?2?an?1?an?anq2?anq?an
1. C 2. B 3. A 4. B 5. ?4 6.
1q9)a1(1?q3)a1(1?q6)2a1(? ??1?q1?q1?q3113??4. ?2q?q?q?0?q????222na(1?q)?q?1. 110．解：?S2n?2Sn, ?80? ①
1?q9633 ?q2?q?1解得 q?1?5，∵各项均为正数，∴q?0，
2 故舍去q?1?5，∴1?5 .
22
a1(1?q2n) ?6560? ②
1?q ②÷①，得qn=81， ∴q >1, - 4 -
故前n项中an最大，将qn=81代入①，得a1=q－1 ? ③ 由an?a1qn?1?54，得81a1?54q ? ④ 由③④解得a1?2,q?3. ?S100?
n?1Sn?2S? ?Sn?1=4? n?1, 由已知得an?1?n?1nnn?1S?a 代入上式得Sn?1?4an. n?1n?1n
a1(q100?1)100?3?1. q?1§2.12 等差数列与等比数列的综合运用
1. C 2. C 3. D 4. B 5. 4 6. 2610 7. 等比数列{an}的前n项和为Sn，
已知S1，2S2，3S3成等差数列，an?a1qn?1， 又4S2?S1?3S3，即4(a1?a1q)?a1?3(a1?a1q?a1q2), 解得{an}的公比q?1.
31?2?2n?18. 解: an?1?2?22???2n?1?
1?21?)n?(2 ?Sn?(2?1)?2(2?? ?1)n§2.10 等比数列求和（2）
1. C 2. B 3. D 4. C 5. a(1?10%)5; 316. (1?p)12?1; 7. (1?n)
238．解：当x≠0，x≠1，y≠1时，
原式?(x?x2???xn)?(1?12???1n)
yyy1(1?1)n?1yn?1x(1?x)yynx?x ???n?1n. ?11?xy?y1?x1?yn(n?1)9．解：当x?1时，Sn?1?2?3?4???n?
2 当x?0时，Sn?1， 当x?1且x?0时，
n2?(1?2n)?n?2n?1?2?n. 1?29. 解：设等比数列的连续三项为am,am?1,am?2， 其公比为q(q?1)，等差数列的公差为d, 则am?1?amq,am?2?am?1q，
?(2?22???2n)?n?x?43x?? Sn?1?2x?32?1?nnx
1x3???n(?x1n)??nxn ?xSn?x?2x2?3?xS)n??(1x?x2?x3???xn?1?nx)n?1?x?nxn ?(11?xnn ?Sn?1?x2?nx.
(1?x)1?xnam?2?am?1．
am?1?am 又am?1?am?4d,am?2?am?1?3d， 两式相减得q?3d?3，所以通项公式为an?23． 4d4410. 解：（1）设{an}的公差为d，S2?2a1?d?6?d，
故q???n?110.
a(1?p)?[(1?p)7?1]. p 又b2??b1b3??8（舍负号），S2?b2?6?d=8，d=2 ，∴an?3?2(n?1)，∴an?2n?1. （2）Sn?3?5???(2n?1)?n(n?2)
∴1?1???1?1?1?1???1
S1S2Sn1?32?43?5n(n?2)11111111) ?(1?????????
232435nn?2111?1)32n?3 ?(1?? ??22n?1n?242(n?1)(n?2)
§2.11 等比数列的综合问题
1. B 2. B 3. D 4. C 5. 1
10236. 16或?16; 7. ;
4a1(1?qn)8. 解：由题设知a1?0，Sn?，
1?q 则a1q2?2 ?? ①
a1(1?q4)a(1?q2) ?? ② ?5?11?q1?q§2.13 数列单元测试题
1. A; 2. A; 3. B; 4. C; 5. B;
6. D; 7. A; 8. A; 9. C; 10. B.
120211．n?5 12． 13. ?1 14.
71115. 解：(1) ?xn?成等比数列且xn?1，设公比为q，则q?0 yn?1?yn?2logaxn?1?2logaxn?2loga ∴?yn?为等差数列.
(2) y4?17,y7?11 ∴3d =－6 d =－2 y1?23 n(n?1)d?23n?n(n?1)??n2?24n 2 当n =12时，Sn有最大值144. ∴?yn?前12项和最大为144.
由②得1?q4?5(1?q2)，(q2?4)(q2?1)?0，
(?2q)?(1q?)(?1 (q?2)q，
因为q?1，解得q??1或q??2．
当q??1时，代入①得a1?2，通项公式an?2?(?1)n?1； 当q??2时，代入①得a1?11，通项公式an??(?2)n?1． 22?a1?d?89. 解：∵ ?, 解得a1＝5, d＝3,
?10a1?45d?185 ∴ an＝3n＋2, bn＝a2n＝3×2＋2,
Sn＝(3×2＋2)＋(3×22＋2)＋(3×23＋2)＋…＋(3×2n＋2) 2(2n?1) ＝3·＋2n＝7·2n－6.
2?1n?2S?S?S?n?2S10. 证明: （1）an?1? nn?1nnnnSS ?n?1?2?n(n?1,2,3,?)，
n?1nS ∴{n}是公比为2的等比数列.
nSSSS（2）由{n}是公比为2，n?1?2?n=22?n?1
n?1nn?1nn
xn?1?2logaq为常数 xn ?yn?前n项和Sn?ny1?16．解：⑴由2Sn?an?1，令n=1得a1?1 ∴ 4(Sn?Sn-1)=((an?1)2?(an?1?1)2，（n≥2）
22?an ∴ 4an=an?1?2an-2an-1
整理得：(an-1?an)(an?an-1?2)?0，由an>0，
∴an?an-1?2 ∴ {an}为公差为2的等差数列. ∴ an=2n?1.
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