（2）由裂项法，Bn?1[(1?1)?(1?1)?
2a1a2a2a311?. 1 ??(1?1)]?1(1?1)??anan?12a1an?122an?1218. （1）{x|x??或x?2}； （2）{x|1?3?x?1?3}.
233 （3）?xx??3或x?3?； （4）?x0?x?4?.
4?a(1?q)4a1(1?q)17．解：（1）由题意知5S2?4S4，?1 ?1?q1?q50q? 1 ?1?q2?, ?a1?0,q?且4na(1?q)（2）?Sn?1?2a1?a1(1)n?1
1?q211 ?bn?q?sn??2a1?a1()n?1
221 要使{bn}为等比数列，当且仅当?2a1?0
211 即a1??,此bn?()n?1为等比数列，
421 ∴{bn}能为等比数列，此时a1??.
418．解：（1）第十个月应付款为：
50?(1000?50?9)?0.01?55.5（元） （2）共付款：
150?[50?1000?0.01]?[50?950?0.01]???[50?50?0.01] ?1225（元）．
?得q?1
22219．（1）x?2?x?2； （2）{x|x??或x?}
32??a?0?b?5a??b?1??2 10．解：由题意得????2?a2???c?a?c?(?2)?(?1)??a25 不等式cx2?bx?a?0化为ax2?ax?a?0，
251 ?a?0,?x2?x?1?0??x?2
221 ∴不等式cx2?bx?a?0的解集为{x|?x?2}.
2
??§3.3 一元二次不等式（2）
1. A; 2. D; 3. C; 4. D; 5. k?1， 6. ②③④; 7. [?1,1]
1418. ⑴{x|??x?且x?1}；（2）x?2?x??1或?x?3
2329. 解：不等式等价于(7x?a)(8x?a)?0
aa 当a?0时，不等式的解集为x??x?；
78aa 当a?0时，不等式的解集为x?x??；
87 当a?0时，不等式的解集为?.
??第三章 不等式
§3.1 不等关系
1. D；2. A; 3. B; 4. C; 5. ???????0 6.（－3，3） 7. ①②④
8．解：设购买单片软件和盒装磁盘分别为x件， y盒(x,y?N?)，则
60x?7y0?500?6x?7y?50??? ?x?3 即?x?3 且(x,y?N?) ???y?2?y?2????10. 解：原不等式等价于(x?a)(x?a2)?0， 它又等价于不等式组
x?a?0x?a?0 （1） 或（2） 2x?a?0x?a2?0?? ①当a?0，或a?1时，a?a2，
原不等式的解集为?xa?x?a2?；
②当0?a?1时，a2?a，
9．解：可先用f(?1)和f(1)来表示f(?2)，即用a?b和a?b来
原不等式的解集为?xa2?x?a?；
表示4a?2b, 设A(a?b)?B(a?b)?4a?2b
③当a?0，或a?1时，原不等式无解.
?B)b?4a? 2b ?(A?B)a?(A
?A?B?4?A?3??§3.4 一元二次不等式的应用 ? ∴3?3(a?b)?6, 2?a?b?4,
?A?B?2?B?11. A; 2. C; 3. A; 4. D; 5. (??,?2]?[5,??) ∴5?4a?2b?10.
6. (??,?1)?[2,??) 7. －5.
10. 解：设甲乙两地相距x千米，采用汽车、火车、飞机
8. 解：⑴y??2n2?40n?98 运输时的总支出分别为
⑵解不等式?2n2?40n?98?0 得 10?51?n?10?51 x?0(??2)?30x0?14 1600 y1?8x?10050 又n?N?3?n?17 故从2002年开始获利.
9. 解：(1)设月获得的利润为y， ?0x(??4)?30x?07 3000 y2?4x?180100?x2x)?(5?00x3 y?(160，x352?2)?300?x?1600 y3?16x?1000?(??x2?13x0?50?0 1300 y?13002002 ?20?x?4?5当月产量在[20,45]件之间时， 显然y3?y1，令y1?y2?0?x?200
所以，当甲乙相距少于200千米时，应选用汽车；当甲乙相 月获得的利润不少于1300元. 距等于200千米时，应选用汽车或火车；当甲乙相距大于200 (2) y??2(x?65)2?1612.5，
2千米时，采用火车较好.
?x?32或x?33时，y取最大值1612.
10. 解：⑴ y?[60(1?0.5x)?40(1?x)]?1000(1?0.8x) §3.2 一元二次不等式（1） 1. D; 2. A; 3. D; 4. D; 5．{?2,0,2} 6．{x|x??2或x?3}，{x|?2?x?3}. 7. {x|x??2或x?3}
y??8000x2?6000x?20000?2000(?4x2?3x?10) 其中0?x?1 ⑵ 依题意：2000(?4x2?3x?10)?(60?40)?1000 - 6 -
4x2?3x?0 ???0x?3，?∴x的取值范围为（0，3）.
44
§3.5 一元二次不等式的综合问题
11. C ; 2. C; 3. D; 4. D; 5．mm??
86．⑴[?3,1]；⑵{x|?2?x?2或x?6}
2]， 7．解：构造函数：f(x)?x2?mx?4,x?[1，?? 得y1?1(c?4),y2?1(c?4), 依题意：
33?1(c?4)?1??1(c?4)?2??0 (y1?1)(y2?2)?0?? ???3???3???1?c?10(0，?3）10. 解：30 (以(?5,0)、为顶点的菱形面积).
§3.7 二元一次不等式组表示的平面区域
1. A; 2. B; 3. C; 4. C 5. 6?； 6. 解：如图知区域是△OAB去掉 一个小直角三角形△CDB. ∴阴影部分面积=S?OAB?S?CDB 1 ??2?2?1?2?2?7.
222247. 3
2u?1??u?x?y8．解：令??u?v?0
v?x?y??u?v?0，时，不等式x?mx?4?0恒成立。 由于当x?(12) 则f(1)?0,f(2)?0，即1?m?4?0,????4?2m?4?0。 解得：m??5。
138．解：（1）当a?时，有不等式f(x)?x2?x?1?0
2211 ∴(x?)(x?2)?0，∴不等式的解集为：{x|?x?2}
221（2）∵不等式f(x)?(x?)(x?a)?0
a1 当0?a?1时，有?a，
a11 ∴不等式的解集为{x|a?x?}； 当a?1时，有?a，
aa1 ∴不等式的解集为{x|?x?a}；
a 当a?1时，不等式的解为x?1。
9．解：将两式分子都化为3，则只要比较分母的2m2?m?1和 3m2?3m?6大小.
2（m?2）?1?0， 3m2?3m?6?(2m2?m?1)=m2?4m?5=
2?1 作出区域是等腰直角三角形，可求出面积s??2?1?1.
29．解：由已知得
?3?0?t??1?t?2?1?t?4?1?1?t?1?8?0?t??12? ????t?0 t?Z3t?1?4?0t?1???t?Z?t?Z? 故3m?3m?6?2m?m?1
且易知3m2?3m?6与2m2?m?1均恒为正数，
333??21 即. 2222m?m?13m?3m?62m?m?1m?m?210. 解：设f(x)?ax2?bx?c(a?0) ?f(x)??2x的解集为（1，3） ?f(1)?a?b?c??2 ① f(3)?9a?3b?c??6 ②
又?f(x)?6a?ax2?bx?c?6a?0有两个相等的实数根， ???b2?4a(c?6a)?0 ③
1 由①②③解得：a??或a?1
5 又?f(x)??2x的解集为（1，3），?a?0
163163 ?a??,b??,c??, ?f(x)??x2?x?.
555555
2210. 解: 不等式等价于
x?2y?1?0
x?y?4?0? 或
2y?1?0 ?xx??y?4?0 其图象如图所示:
§3.8 简单的线性规划(1)
1. C; 2. A; 3. A; 4. C; 5. 1； 6. P(?1,?1); 7. 50x?40y?2000
7? 8. ??5，9. 解：在坐标系中画出图象，如图. 三条线的交点分别是A(0，1)， B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中满 足z?2y?x的最大值是点C，代入 得最大值等于11.
10．解: 区域D如图所示?ABC所在区域（包含边界）
（1）令z?2x?y，显然z在点C处 y 取得最大值，?(2x?y)max?14； C(4, 6) （2）点O到直线2x?y?2?0
2，由区域D 52 及题意知，以点O为圆心， D -2 2 r?的圆满 A O 1 x?y?2?0 5-2 B 足条件，
x?y?2?0 242x?y?2?02 ?S最大??()??.
55
§3.6 二元一次不等式表示的平面区域
1. B; 2. B; 3. C; 4. C; 5. R,S；
26. {t|t?}; 7. P(?5,1)
38．解：先画出直线－x＋2y－4＝0（画出虚线） 取原点（0，0）代入－x＋2y－4, 因为 0＋2 × 0－4＜0
所以原点在－x＋2y－4＜0 表示的平面区域内，
不等式－x＋2y－4＜0表示的区域如图. 9．解法1：
???2?(?2)?3?c10 ?2?2?3?1c?2??0?c?1 ?? 的距离r?x 解法2：将A、B两点横坐标分别代入直线L的方程，
§3.9 简单的线性规划（2）
1. A; 2. B; 3. B; 4. D; - 7 -
5． 5； 6．3； 7．0
28．解：作出其可行域，
约束条件所确定的平面区域的四个顶点为
5 （1，），（1，5），（3，1），（5，1），
3 作直线l0：2 x + y = 0，
再作与直线l0平行的直线l：2 x + y = z，
5 由图象可知，当l经过点（1，）时
3511 使z?2x?y取得最小值，zmin?2?1?1??
33 当l经过点（5，1）时使z?2x?y取得最大值，
?2?5?1?1?1 zmax. 19. 解：每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，日产值到达最 大值117万元.（提示：设每天生产甲种产品x吨，乙种产品 y号，则7x+3y≤56，2x+5y≤45，x、y≥0，目标函数z=8x+11y， 作出线性约束条件所表示的平面区域，即可求得当 x=5，y=7 时，z取最大值117万元）
10. 解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张， 每天所获利润为z千元，则 ?x?2y?8,?3x?y?9, ?
x?0,??y?0. 目标函数为z?2x?3y 如图，作出可行域， 把直线l：2x?3y?0 向右上方平移至l?的 位置时，直线经过可 行域上的点M，直线
的纵截距最大，此时z＝2x＋3y取得最大值．
x?2y?8x?2
解方程组 得，即M?2,3?，
3x?y?9y?3
法2：
1?1?(1?1)?(m?n)?2?n?m?2?2n?m?4.
mnmnmnmn§3.11 基本不等式的应用（1）
1. D; 2. B; 3. C;
a?b)2?4，
2 当且仅当a?b?2时取等号， y 4. A; 提示：法一：?ab?( 又c?d?2cd?4，
当且仅当c?d?2时取等号， 故选A.
法二：由右图可知， 对x,y?R?,xy?x?y
4 2 O 2 4 x x?y?4 当且仅当x?y?2时取等号，
故选A.
5. 4 ； 6． 2?43.
7． 3；提示：以CA、CB所在直线为坐标轴建立平面直角坐
yab 标系，则直线AB的方程为x??1. 设P(a,b)，则??1
4343a?bab (a?0,b?0),ab?12???12(43)2?3，
432ab13 当??，即a?2,b?时，(ab)max?3.
43228．解 当x?0时，y?0 当x?0时，
y?3x?4x?3?3?3，当且仅当x?4
xx?42x44xxyax≥a?2a?1≥9，∴ a≥2或a≤－4(舍去)， 答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获最大利润. 则1?a??xy
所以正实数a的最小值为4.
§3.10 基本不等式及其证明 10．解：设矩形温室的左侧边长为am，
后侧边长为bm，则ab=800m2. ∴蔬菜的种植面积 11. A 2. D 3. B 4. B 5. 6. ①②③⑤
16b?2?)ab?2a?4b?8?80?8a2，?(b S?(a?4)( x?3z? ∵a?0,b?0,ab?800， ∴a?2b?22ab?80 7. 3 提示：由已知得y? 2 ∴S?808?2?80?648（m2）， 222yx?9z?6xz6xz?6xz???3（当且仅当x?3z取“=”号） 当且仅当a?2b，即a?40m,b?20m时，Smax?648m2. xz4xz4xz 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬
8. 证明：?a2?b2?2ab ①
菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.
22 b?c?2bc ②
22 c?a?2ca ③ §3.12 基本不等式的应用（2） ①＋②＋③?a2?b2?c2?ab?bc?ca
1. A;
又?a,b,c不全相等，
a?b?c?a?b?2?a?b?1?ab?12. B; 提示：r?， 222 ?a?b?c?ab?bc?ca. 222??33 即x??2时，等号成立. ∴ymin??,ymax?.
449．解：已知不等式(x+y)(1?a)≥9对任意正实数x，y恒成立，
xybcyadx9. 解：Q?ax?by?b?d?ab?cd? ?xyxy ?ab?cd?2abcd?ab?cd?P
?P?Q.
10. 解：函数y?a1?x(a?0,a?1)的图象恒过定点A(1,1)， 1?m?1?n?1?，0m?n?1，m,n?0， 法1：m?n?2mn?1?2， 1?1?21?1?2?2?4.
mnmnmn 当且仅当a?b?2时，rmin?2?1，故选B.
3. C;
4. D; 提示：设第一年的产量为A，?A(1?x)2?A(1?p1)(1?p2) ?(1?x)2?(1?p1)(1?p2)?( ?x?2?p1?p22p?p)?(1?12)2 22p1?p2p?x?，当且仅当p1?p2取“=”号， 22 故选D.
5．20； 6．2240 7．(a?b)2 8．解: 如图为轴截面，令圆柱的高为h， - 8 -
OR BCA
底面半径为r，侧面积为S，
h 则()2?r2?R2，即h?2R2?r2
2S?2?rh?4?r?R2?r2 ?4?r2(R2?r2)
222?4?r?R?r?2?R22 取等号时，内接圆柱底面半径为2R，高为2R
29．解：设M(t,0)(t?5)，
则直线l的方程为4x?(6?t)y?45?0 它与y?4x相交得点Q的纵坐标为 从而?OQM的面积为
2?(?5)25t?t22?2?(t?5)?1t0S?1t?42t?5t?5t?5
50?2(t?5)??20?40t?550 当且仅当2(t?5)?，即t?10时，
t?5 ?OQM的面积最小值为40， 此时直线方程为x?y?10?0.
4t， t?59．解：使用x年时，年平均费用最少，由于“年维 修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”， 可知汽车每年的维修费构成以0.2万元为首项， 0.2万元为公差的等差数列. 因此，汽车使用x年
0.2?0.2xx 总的维修费用为万元.设汽车的年
2 平均费用为y万元，则有：
?0x.x210?0.x9?0.2.212y??10?x?0x xx?1?10?x?1?21?0x?3x10x1010x 当且仅当?，即x?10时，y取最小值.
x10答：汽车使用10年时，年平均费用最少. 10. 解：设每间虎笼的长xm、宽ym，
则由“有可围36米长的材料”，得4x?6y?36， 即2x?3y?18, 设面积为S?xy， 由于2x?3y?22x?3y?26xy 2727 所以26xy?18，得xy?，即S?
22 当且仅当2x?3y时，等号成立.
2x?3yx?4.5 解方程组，得
2x?3y?18y?310．解：（1）由已知得： 即
2450v?9，
v?50v?16002??50v?1， v?50v?1600 而分母v2?50v?1600恒大于零，∴解之得：20?v?80 ∴汽车的平均速度应在每小时20~80千米．
0450 ?（2）∵v?0 ?y?245vv?50v?1600v?1600?50v1600?80 ∵v?， ∴y?15，
v1600 当且仅当v?，即v?40（千米／小时）时，
v 车流量最大，最大值为15（千辆／小时）
答：在该时段内，当汽车的平均速度为40（千米/小时）时，车流量最大，最大值为15（千辆/小时）．
答：每间虎笼设计长、宽分别为4.5m,3m时，面积最大.
§3.14 不等式单元测试题
1. B; 2. B; 3. D; 4. C; 5.C; 6. C; 7.C; 8. C; 9. D; 10. A
311．?xx?3或x??1且x??3? 12． 13．8
53114．,（提示：区间根与线性规划方法：数形结合列出
22 a、b满足的二元一次方程组）
2115．A??x3x2?4x?4?0??x??x?2，B?xx?或x?1
3321 A?B?x??x?或1?x?2
3316．解：（1）?ax2?3x?2?0的解集为{x|x?1或x?b}
??????§3.13 基本不等式的综合问题
1.A; 2. C; 3. C; 4. D;
5．32 6．[2,??)
7．[9,??)；解：法一：ab?a?b?3?2ab?3 ∴(ab)2?2ab?3?0 ∴ab?3 ∴ab?9（仅当a?b?3时） 法二：设S?ab，Qab?a?b?3
a?3 ∴b?，由b?0，知a?1，
a?1a?3?a2?3a?(a?1)?4?5?9 ∴S?a?
a?1a?1a?1 当且仅当(a?1)2?4，即a?3时取等号，此时b?3. 198．解：Qa,b,c都是正实数，且??1，则
ab?1?b?3?a ???a?1,b?2； ?1?b?2?a（2）不等式ax2?(ac?b)x?bc?0即x2?(2?c)x?2c?0， 亦即(x?2)(x?c)?0，故
① 当c?2时，其解集为{x|2?x?c}； ② 当c?2时，其解集为{x|c?x?2}； ③ 当c?2时，其解集为?. 17．解：（1）设AE = t, 则依题意有 2a2?0?1?3?(a22 ) ∴t? 1xtsin6
x224 在?ADE中，由余弦定理得
2?A2E?2A?DcAoEs A DE2?AD 222a)2?2x?2a?cos600 ∴y2?x2?(
xxb?9a??10b(?9?)1?0?29a?， 16 (a?b)1abababb9a 当且仅当?，即b?3a时“=”号成立，
ab?a?b?16 此时a?4,b?12, 若a?b?c恒成立?0?c?16，即c?(0,16].
?2a2(a?x?2a) 故y?x2?4a2x4- 9 -
4424a（2）?x2?4a?2x??4a2 22xx44a 当且仅当x2?2即x?2a时取等号
x ∴ymin?4a2?2a2?2a 即AD?AE?2a,EDmin?2a 答：（1）用x表示的y的函数为
y?x2?4a ?2a2(a?x?2a)2x（2）线路最短时，为AD?AE?2a，此时DE∥BC； 最少需要灌溉水管长2a.
18．解：设应供应洗衣机x台，空调y台，利润z＝8x＋6y．
?20x?30y?300?10x?5y?110? 则?
x?0???y?0 由图知当目标函数 的图象经过M点时 能取得最大值，
y?30?2x?3 ?， ?2x?y?22?x?9 解得?, 即M(9，4)，
?y?4 所以z＝8×9＋6×4＝96(百元) 答：应供应洗衣机9台，空调4台，可使得利润最多达到9600元.
4- 10 -
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高中数学5
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（2009年3月）
远方出版社