把所有期望损益值看作一个列矩阵，则
=
把状态概率用矩阵表示为
所有方案的风险值
(;)用矩阵表示为
A=
把矩阵A与矩阵P相乘，得
AP=
即以上三者的关系为
= AP
当决策目标是收益时，应选择期望值最大的方案为最优方案
是损失时，应选择期望值最小的方案为最优方案
=min。 =max；当决策目标
上述期望值可由矩阵的乘法运算得到，故这种风险型决策模型称为矩阵决策模型。
【例3】用决策矩阵法确定例1中的哪一种行动方案较为合适。 解 由于
，
所以
= AP=
建立决策矩阵表，如表4－4所示。
从决策矩阵表的期望值中，我们要减去投资额，得到
投资150万元新建车间的纯收益为
投资60万元扩建原有车间的纯收益为
利用原有生产设备纯收益为
可以看出，投资60万元扩建原有车间的纯收益为
所以选择扩建原有车间的方案比较合适。
三、决策树模型
决策树模型是风险决策问题的一种直观的图示法。因为图的形状像树，所以被称为决策树。当所要决策问题只需进行一次决策就可解决，叫做单阶段决策问题；如果问题比较复杂，而要进行一系列的决策才能解决，就叫做多阶段决策问题。决策树表示法还方便简捷、层次清楚，能形象地显示决策过程。
决策树的结构如图4-1所示。图中的方块代表决策节点，通常用R表示。从它引出的分枝叫做方案分枝。每条分枝代表一个方案，分枝数就是可能的方案数。圆圈代表方案的节点，从它引出概率分枝，每条概率分枝上标明了自然状态及其发生的概率。概率分枝数反映了该方案面对的可能的状态数。末端的三角形叫做结果结点，注有各方案在相应状态下的结果值。
万元，比其它两种方案的利润高，
（万元）。
（万元）； （万元）；
应用决策树来作决策的过程，是从右向左逐步后退进行分析。根据右端的损益值和概率枝的概率，计算出期望值的大小，确定方案的期望结果，然后根据不同方案的期望结果作出选择。方案的舍弃叫做修枝，被舍弃的方案用“≠”的记号来表示，最后的决策点留下一条树枝，即为最优方案。
【例4】某企业生产某种产品，生产出来后畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3。现有两种方案：（1）扩大工厂的规模，如果产品畅销可盈利600万元，滞销则亏损200万元；（2）不改变工厂规模，如果产品畅销可盈利400万元，滞销则盈利100万元。试问哪一种方案较好？ 解 （1）按决策过程将决策的基本要素画出决策树，如图4－2所示的。
（2）计算各节点的期望损益值： 节点 ① 节点 ②：
； ；
，即节点①的值大于节点②的值，所以应该将节点
（3）进行决策。通过节点值的比较，得到②剪掉，采用扩建厂房的方案。
【例5】某企业为提高其产品在市场上的竞争力，现拟定三种改革方案：（1）公司组织技术人员逐渐改进技术，使用期是10年；（2）购买先进技术，这样前期投入相对较大，使用期是10年；（3）前四年先组织技术人员逐渐改进，四年后再决定是否需要购买先进技术，四年后买入技术相对第
一年便宜一些，收益与前四年一样。预计该种产品前四年畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3。如果前四年畅销，后六年畅销的概率为0.9；若前四年滞销，后六年滞销的概率为0.1。相关的收益数据如表4-5所示。
（1）画出决策树；
（2）计算各点的期望值，并做出最优决策。
表4-5 投 资 收 益 表 单位：万元 方 案 （1） （2） （3） 投资额 第一年 200 500 100 四年后 0 0 200 每年收益 前四年 畅销 滞销 80 20 200 -30 80 20 后六年 畅销 滞销 80 20 200 -30 80 20 200 -30 解 （1）画出决策树如图4-3所示。 R为总决策，R1为二级决策。
解 （1）画出决策树如图4-3所示。 R为总决策，R1为二级决策。
节点①表示第一种方案:公司组织技术人员逐渐改进技术，使用期是10年的收益期望值节点; 节点②
表示第二种方案: 购买先进技术，使用期是10年的收益期望值节点; 节点③表示第三种方案: 前四年
先组织技术人员逐渐改进，四年后购买先进技术的收益值节点。节点④、⑤、⑥、⑦分别是在三种方案下的分枝结点。
（2）各节点的期望值计算从最右边开始： 节点④：节点①: 节点⑤:
（万元） （万元）
（万元）
节点②:节点⑥: 节点⑦: 因为 节点③：
（万元）
（万元） （万元）
,所以将⑦这一枝剪掉。
（万元）
将决策点①、②、③的期望收益值进行比较，决策点③的期望收益值最大，所以应选择方案（3），即先采取公司组织技术人员逐渐改进，然后再引进技术的决策。
决策树是用二叉树形图来表示处理逻辑的一种工具。决策树数学模型的优点如下： （1）它构成了一个简单决策过程，可以使决策人有顺序有步骤地进行决策； （2）它比较直观，可以使决策人以科学的推理步骤去周密地思考各有关因素； （3）便于集体决策，对要决策的问题画一个决策树出来，便于集体讨论；
（4）对于较复杂的决策问题，用决策树方法比较有效，特别是对多级决策问题来说尤其方便简捷。 课堂练习：某企业计划推出一款新型产品，企业的备选方案有三种。一是建立新型的生产线，投入的成本最大，但产出最高；二是改造原来的生产线，投入的成本比新建生产线少，产量也会相应少一些；三是继续使用原来的生产线，不会投入相应的成本，产量最少。根据市场需求分析和估计，产品畅销、一般、滞销的概率分别为0.3，0.5，0.2。根据产量和销量的不同，企业面临的盈利情况如下表：
试进行决策。 小结：
1、风险型决策问题的基本概念 2、期望值决策法： （1）矩阵决策法； （2）决策树法。