等式右边：先从n个元素中拿出一个元素排在首位，有n种方法，然后再从剩下的n-1
11个元素中取r-1个元素做后面r-1位的排列,有Prn??种方法,按乘法原理,共有nPrn??种方法。 11(b) 方法一
Pr?nn!(n?r)!?n(n?1)?(n?r?2)(n?r?1)?(n?r?1)?n(n?1)?[n?(r?1)?1]?(n?r?1)n![n?(r?1)]!?(n?r?1)Pr?1n
方法二（组合意义法）
等式左边：从n个元素中取r个元素做r位排列，有Prn种方案。
等式右边：先从n个元素中取r-1个元素做r-1位排列，有Prn?1种方法；再从剩下的n-r+1个元素中取1个元素，共有n-r+1种选法，按乘法原理，共有(n?r?1)Prn?1
(c) 方法一
Pr???nn!(n?r)!nn?rnn?r?n(n?1)?(n?r?2)(n?r?1)(n?1)?(n?r?2)(n?r?2)(n?r?1)(n?r)(n?1)?(n?r?1)[(n?1)?r?1]?n(n?1)!?nn?rPrn?1
n?r[(n?1)?r]!方法二：（组合意义法）
等式左边：从n个元素中取r个元素做r位排列，其方案数为Prn；
等式右边：从n个元素中先取出一个元素放在第一位，有n种方法，再从剩下的n-1个元素种取出r个元素放在第2位，?，第r位，第r+1位，有Prn?1种方法，这样就多了一
nPrn?1位，故应除去第r+1位的选取方法，共有n-r种选法，故总方案为
(d) 方法一
Prn?1n?r。
?(n?1)!(n?1?r)!?(n?1)n?(n?r?2)?[(n?r?1)?r]n?(n?r?2)?n?(n?r?2)(n?r?1)?r?n?[n?(r?1)?1]?n!(n?r)!?r?n!(n?r?1)!?Pr?rPr?1nn
方法二：（组合意义）
等式左边：从n+1个不同的元素中取r个元素进行r位排列。其方案为Prn?1；
等式右边：(a) 不取某特定元素b，则r个元素需从剩下的n个元素中取，然后做r位
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排列，共有Prn种方案。
(b) 取定某特定元素b，则其余r-1个元素需从剩下的n个元素中取，先做r-1位排列，共有Prn?1种方法，再将特定元素b插入这r-1个元素形成的r个空隙中，有r种方法，故按乘法原理，共有rPrn种方案。
(e) 方法一 （根据(d)可得）
Prn??Pr?rPr?1?Pr?Pr?Prn?1n?2n?2nn?rPr?1?rPr?1?rPr?1?rPr?1?rPr?1?rPr?1?rPr?1?rPr?1rr?1n?1nn?2n?1nn?2n?1nn?1n????Pr?rPr?1?rPr?1???rPr?1?rPr?1?r!?r(Pr?1?Pr?1???Pr?1?Pr?1)?r!?r(Pr?1?Pr?1???Pr?1?Pr?1nn?1r?1rrr?1n?1nr
方法二：组合意义（同样根据d）
等式左边：从n+1个不同元素取r个元素做r位排列，其方案数为：Prn?1 等式右边：设b1,b2,b3,?,bn?1?r是n-r+1个特定元素。
(a) 不取特定元素b1,b2,b3,?,bn?1?r，剩下的r个元素做全排列，有Prr=r!种方案。 (b)(1)：取特定元素b1，但不取特定元素b2,b3,?,bn?1?r，于是先在剩下的r个元素中取r-1个元素做排列，有Pr?1种方法，然后将b1插入这r-1个元素的r个空隙，共有r种方法，故按乘法原理，有rPr?1种方案。
(2)：取特定元素b1，但不取特定元素b3,?,bn?1?r，于是先在剩下的r+1个元素中取r-1个元素做排列，有Pr?1种方法，然后，将b1插入这r-1个元素的r个空隙，共有r种方法，故按乘法原理，有rPr?1种方案。
??
(n-r)：取特定元素b1，但不取特定元素bn?1?r，于是先在剩下的n-1个元素中取r-1个元素做排列，有Pr?1种方法，然后，将b1插入这r-1个元素的r个空隙，共有r种方法，故按乘法原理，有rPr?1种方案。
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n?1n?1r?1r?1rr
(n-r+1）：取特定元素b1，先在剩下的n个元素中取r-1个元素做排列，有Prn?1种方法，然后，将b1插入这r-1个元素的r个空隙，共有r种方法，故按乘法原理，有rPrn?1种方案。
最后，按加法原理，共有：
r!?r(Pr?1?Pr?1???Pr?1)
nn?1n1.18 8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子中，每盒最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？
[解] 先将5个球进行全排列，有5!种方法，再将三个空格插入5个球的6个空隙中，有
C36种方法，然后将这些元素的排列一对一的放入8个盒子中，即完成了每盒最多一球，空盒不相邻的放球要求，总方案有：C36?5!?2400（种）
1.19 n+m位由m个0，n个1组成符号串，其中n?m+1，试问不存在两个1相邻的符号串的数目。
[解]：先将m个0排成一排，再将n个1插入m个0的m+1个空隙（因为n?m+1,这可实现）,就得到了无相邻的n+m位0-1符号串，其方案数为??n??m?1???。 ?1.20 甲单位有10个男同志，4个女同志，乙单位有15个男同志，10个女同志，由他们产生一个7人的代表团，要求其中甲单位占4人，而且7人中男同志5位.试问有多少种方案？ [解] 甲单位选4人，则乙单位只能选3人；另外男同志要5人，而乙单位的3人全是男同志，还差2名男同志，故甲单位的男同志人数应至少是2，至多为4。
?10??4??15??10??10??4??15??10??10??4??15??10???2????2????3????0?????3????1????2????1?????4????0????1????2???768600 ????????????????????????1.21 一个盒子里有7个无区别的白球，5个无区别的黑球. 每次从中随机取走一个球，已知前面取走6个，其中3个是白的. 试问取第6个球是白球的概率. [解] 已知前面取走6个球，有3个白球，则有3个黑球。
故总的取球方案是?????7?6?5?5?4?3；
?3??5?第六个球是白球的方案是??2???7?6?5?5?4?3
???6??5???2???7?6?5?5?4?31????0.5 因此取出第6个球是白球的概率P?2?6????7?6?5?5?4?3?3???1.22 求下图中从0到P的路径数：
(a) 路径必须过A点； (b) 路径必须过道路AB；
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(c) 路径必须过A和C；
(d) 道路AB封锁（但A，B两点开放）.
[解] O(0,0), A(3,2), B(4,2), P(8,5), C(6,3)
(a) 路分为两段：先从O到A，再从A到P，则有：
?3?2??8?3?5?2??5??8?????2???5?2????2????3???560????????
(b)路分为三段：先从O到A，再从A到B；再从A到B；然后从B到P；
?3?2??8?4?5?2??5??7??????1??2??5?2????2????3???350????????
(c) 路分为三段：先从O到A；再从A到C；然后从C到P；
?3?2??6?3?3?2??8?6?5?3??5??4??4??????2????3?2????5?3????2????1????2???240????????????
(d) (采用排除法)
从O到P的满足不过AB的路 ＝ 从O到P的路－从O到P经过AB的路，因此：
?8?5??3?2??8?4?5?2??13???1???????????350?1287?350?937 525?2???????5?1.23 另s={1,2,3…,n+1},n?2
T?{(x,y,z)|x,y,z?s,x?z,y?z}，试证：
?n?1??n?1?2k??2?2?????
23k?1????n [证]
T?n?1z?1z?1n?12nT????1???z?1?z?1y?1x?1z?12??kk?132
32而?k?1??k?3k?3k?1，故k3?13??k?1?3?k?3k?1
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nn1?n3?1?333k?(k?1)?k?3k?n?n?1?1?n?n?1???????????332?k?1k?1k?1?k?1?2n?n??13(n?1)?13?n?1?3?12n?n?1??(n?1)3?12n(n?1)?13(n?1)?n(n?1)?3?n?1?1??n?1?1?122???(n?1)(n?1)?n????(n?1)(n?2n?1?3n?1)????3??2?3?2??3?n?1?1?n?1??n?1?(n?1)n(n?1)?n?1?2???(n?1)(n?n)??2???2???????3?2?1?2?3?2??2??3?
1.24 A={(a, b)|a, b∈Z, 0?a?9,0?b?5}
(a) 求x-y平面上以A作顶点的长方形的数目. (b) 求x-y平面上以A作顶点的正方形数目.
[解] (a) 先选定横作标，再选定纵坐标，其方案数为：
?10??6?10?96?5???675?2????2???22????
(b) 求x－y平面上以A作顶点的正方形数目。
按边长分类：
边长为1的正方形：9×5＝45
边长为2的正方形：(9-1)×(5-1)=32
边长为3的正方形：(9-2)×(5-2)=21 边长为4的正方形：(9-3)×(5-3)=12 边长为5的正方形：(9-4)×(5-1)=5
故总的以x－y平面上A点作顶点的正方形的数目，按加法原理可得数目为115. 1.25 平面上有15个点P1, P2, … , P15，其中P1, P2, P3, P4, P5共线，此外不存在3点共线的.
(a) 求至少过15个点中两点的直线的数目. (b) 求由15个点中3点组成的三角形的数目. [解] (a) (采用排除法)
至少过15个点中两点的直线数目＝在15个点中任选2个点将有一条直线－从P1～P5中选2点构成直线＋P1～P5所在的直线l
?15??5????2?????2???1?????96
(b) (采用排除法)
由15个点中3点组成的三角形的数目＝任在15个点中取3点构成三角形的数目－在5个点P1～P5中取3点构成的“三角形”的数目
?15??5????3?????3???????445
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