南京市2019届高三年级学情调研
数 学 2018.09
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目．．．的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：
1
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
31n1n
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ ∑(xi－－x)2，其中－x＝ ∑xi．
ni＝1ni＝1
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．1．已知集合A＝{ x|1＜x＜5，x∈R }，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，那么集合A∩B中有 ▲ 个元素．
2．复数z＝(1＋bi)(2－i)，其中b∈R，i为虚数单位．若z是
I←1 开始 纯虚数，则实数b的值为 ▲ ．
3．已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18， 21，22，24，25，那么这组数据的方差为 ▲ ． 4．执行右图所示的算法流程图，则最后输出的S的值 为 ▲ ．
1
5．若函数f(x)＝a＋x 是奇函数，则实数a的值为 ▲ ． 2－16．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x的准线与双曲线 xy
－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则 a2b2该双曲线的离心率是 ▲ ．
7．不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是 ▲ ．
πππ
8．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ) (－＜φ＜)的图象关于直线x＝ 对称，则f(0)的值为 ▲ ．
226
2
2
S←1 N I≤5 Y S←2S 输出S 结束 I←I＋2 Y （第4题图）
高三期初数学试卷第1页（共4页）
9．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，则四棱锥A1－ B1C1CB的体积是 ▲ ． 110．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋ (n∈N*)，则a10 的值
n(n＋1)为 ▲ ．
1
11．已知△ABC 的面积为315，且AC－AB＝2，cosA＝－，则 BC 的长
4
A1
B1
C1
A B C
为 ▲ ．
→→12．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°， E为边BC上一点，且AB·AE＝6， →→3→→AD·AE＝，则AB·AD的值为 ▲ ．
2
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(1，－1)，点P为圆(x－4)2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则
S1 的最小值是 ▲ ． S2
（第9题图）
1x214．若函数f(x)＝ax2－ex＋1在x＝x1和x＝x2两处取到极值，且 ≥2，则实数a的取值范围
2x1
是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，已知四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BC＝EC，F是BE的中点． （1）求证：DE∥平面ACF； （2）求证：平面AFC⊥平面ABE．
B
F
E
（第15题图）
C A
D
高三期初数学试卷第2页（共4页）
16．（本小题满分14分）
33
已知α，β为钝角，且sinα＝，cos2β＝－．
55 （1）求tanβ的值； （2）求cos(2α＋β)的值．
17．（本小题满分14分）
at
销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P＝，销售乙t＋1种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q＝bt，其中a，b为常数．现 9
将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若 4 全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f (x)万元． （1）求函数f (x) 的解析式；
（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．
18．（本小题满分16分）
x2y22
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且直线l：x＝2被椭
ab2圆E截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P，Q两点，且PQ的中点R在直线l上．点M(1，0)．
y （1）求椭圆E的方程； （2）求证：MR⊥PQ．
O M l x （第18题图）
高三期初数学试卷第3页（共4页）
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2．
（1）求过原点(0，0)，且与函数f(x)的图象相切的直线l的方程；
（2）若a＞0，求函数φ(x)＝|g(x)－2a2f(x)|在区间[1，＋∞) 上的最小值．
20．（本小题满分16分）
如果数列{an}共有k(k∈N*，k≥4)项，且满足条件：
① a1＋a2＋…＋ak＝0； ② |a1|＋|a2|＋…＋|ak|＝1，
则称数列{an}为P(k)数列．
（1）若等比数列{an}为P(4)数列，求a1的值； （2）已知m为给定的正整数，且m≥2．
① 若公差为正数的等差数列{an}是P(2m＋3)数列，求数列{an}的公差；
qn1
，1≤n≤m，n∈N*， 3
② 若an＝其中q为常数，q＜－1．判断数列{an}是否
m－n*
，m＋1≤n≤2m，n∈N，12
???
－
为P(2m)数列，说明理由．
高三期初数学试卷第4页（共4页）
南京市2019届高三年级学情调研
数学附加题 2018.09
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答．．．案空格内．考试结束后，交回答题卡．
21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定．．．．．
区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．
A．选修4－2：矩阵与变换
? 2 －2??－4?
已知矩阵A＝?? ． ? ，向量α＝?
? 2?? 1 －3?
x?
（1）若向量 β ＝ ??y? 满足Aβ＝α，求x，y的值； （2）求 A1．
－
B．选修4－4：坐标系与参数方程
π
在极坐标系中，已知直线l：ρcos(θ－ )＝2 与曲线C：ρ＝6sinθ 相交于A，B两点，求线
4
段AB的长．
C．选修4－5：不等式选讲
144
已知a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1，求 ＋＋ 的最小值．
abc
高三期初数学试卷第5页（共4页）