微积分的思想和方法
（部分讲义）
黄 荣 第四讲
第四章 定积分与不定积分
[教学目标]
1、了解定积分产生的历史、实际背景，理解定积分的概念，掌握定积分的性质；
2、理解原函数与不定积分的概念； 3、掌握不定积分性质与其本积分公式； 4、掌握定积分的牛顿一莱布尼兹公式； 5、了解定积分在实际问题中的应用； 6、了解简单微分方程的概念。 [重点难点]
定积分、不定积分的概念、牛顿一莱布尼兹公式。 [学习建议]
1、学习定积分概念时，应充分注意体现微积分的基本思想。 2、学员学习不定积分时，要注意加强练习，尽量做到掌握不定积分的计算方法。
3、牛顿一莱布尼兹公式，建立了微分和积分之间的联系，学员应适当练习，切实掌握。
4、为了掌握计算技能，学员必须做适当的练习。 [课时分配]
面授8课时，自学16 课时。 [面授辅导] 1、不定积分 1.1.1原函数
▲如果函数f(x)与f(x)定义在同一区间(a，b)，并且处处都有：F1(x)=f(x) 或df(x)=f(x)dx
则称f(x)是f(x)的一个原函数。 下列是一些简单函数的原函数： 出数 cosx sinx ex en
ex xn+1 原函数 sinx -cosx
1.1不定积分定义
▲设函数f(x)与F(x)定义在同一区间(a，b) 内。苦F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+c也是f(x)的原函数，c为常数。 例1：求2x的原函数F(x)，且使F(2)=7。 解： ∵ x2=2x
∴x2是2x的一个原函数。 2x的全体原函数为 F(x)=x2+c (c为常数) F(2)=22+c=7 c=3
∴F(x)=x2+3为所求。
例2：求sinx的原函数F(x)，且使F(0)=4。 解：由于
(-cosx)=sinx
因此-cosx就是 sinx的一个原函数。 sinx的全体原函数记为 F(x)=-cosx+c 依题意有：F(o)=-cosD+c=4 c=5 所求F(x)=-cosx+5
例3：求f(x)=x3-3x2+2x+7的原函数。 解：f(x)的一个原函数为 x4-x3+x2+7x 则f(x)的全部原函数为
F(x)= x4-x3+x2+7x+c (c为常数) 1.1.2不定积分定义
函数F(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记为 (x) dx。
其中 称为积分号，x称的积分变量，(x) 称为被积函数。 虽然 (x)dx=F(x)+c
(c为任意常数，称为积分常数)
注意：“不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算。
例1 已知自由落体的运动速度v?gt，求自由落体的路程公式。
解 设自由落体的路程公式为s?f?t?。由导数的力学意义可知，速度
v?f'(t)?gt'。联想到
?12??gt??gt?2?'，并且常数的导数为0，所以
?12??gt?C??gt?2?。于是路程公式为
又因当t?0时s?0??0，代入上式，可得C?0，故所求的路程公式为
s?f?t??12gt2
s?f?t??12gt?C2 （C为任意常数）
该物理问题是已知速度求路程。抽象为数学问题，就是已知导数求原来的函数，这是求导数的逆运算。数学中的逆运算我们已经碰到过不少，比如相对于加法的减法，相对于乘法的除法，相对于乘方的开方等。这里需要解决两个问题：一是逆运算是否存在？二是如果逆运算存在的话，结论有几个？现在就来围绕这两个问题解决求导数（或微分）的逆运算问题。 首先我们要知道什么是原函数。
根据导数公式或微分公式，我们很容易得出一些简单函数的原函数。如
函数 原函数 cosx sinx
sinx ?cosx ex ex
1xn?1n x n?1
从这些例子不难看出，sinx是cosx的原函数，(sinx?C)也是cosx的原函数，这里C是任意常数。于是产生这样一个问题：同一个函数究
竟有多少原函数？
定理 设函数f(x)与F(x)定义在同一区间(a,b)内。若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)?C也是f(x)的原函数，这里C是任意常数；而且F(x)?C包含了f(x)的全部原函数。 证明 因为
(F(x)?C)'?F'(x)?f(x) 所以F(x)?C是f(x)的原函数。
下面证明F(x)?C包含了f(x)的一切原函数。而这只需证明，f(x)的任一原函数G(x) 必然有F(x)?C的形式。 证明 根据假设
G'(x)?f(x)，F'(x)?f(x)， 从而
G'(x)?F'(x)?f(x)?f(x)?0， 由中值定理推理2得 G(x)?F(x)?C， 故
G(x)?F(x)?C 。
例1 求2x的原函数F(x)，且使F(2)?7。
d2x?2x解 我们知道dx，因此x2就是2x的一个原函数，2x的全体原函
数记为F(x)=x2+C。根据题意，我们求常数C。 所以
F(2)?22?C?7，C=3