F(x)=x2+3
例2 求sinx的原函数F(x)，且使F(0)?4。 解 求解的思路同例1
d(?cosx)?sinxdx一样。我们知道，因此?cosx就
sinx的全体原函数记为F(x)=?cosx+C。是sinx的一个原函数，根据题意，
我们求常数C。
所以
F(x)=?cosx+5 例3 求f(x)?x解 f(x)?x33F(0)??cos0?C??1?C?4，C=5
?3x2?2x?7的原函数
?3x2?2x?7的一个原函数为
F0(x)?14x?x3?x2?7x4
则f(x)的全部原函数为F(x)?F0(x)?C（C为常数）。
不定积分定义
定义 函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记为 ?f(x)dx，
其中?称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积函数。 由定理可知，如果知道了f(x)的一个原函数F(x)，则 ?f(x)dx?F(x)?C， 其中C是一个任意常数，称为积分常数。
关于不定积分运算和微分运算
从不定积分的概念可知，“不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算：
??f(x)dx?'?f(x)或d?f(x)dx?f(x)dx； 反过来，
?F'(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C。
这就是说，若先积分后微分，则两者的作用互相抵消；若先微分后积分，则抵消后差一常数。 例4 求?解 ?2xdx
2xdx是指求2x的一切原函数，所以
?2xdx=x不定积分的几何意义
2?C
作例4的函数族图，得到一曲线族，不定积分的几何意义就是曲线族。由一条曲线上下平移而得到。它们在同一点的切线斜率相等，如图所示。
[思考题]
(1)德.摩根说积分就是“回忆微分”，你能默想导数公式并列出相应的基本不定积分公式吗？
(2)你了解数学的三次危机吗？它们对你又何启示？