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10． D提示：当1?x?313时，f(x)?8x?8，所以g(x)?8(x?)2?8，此时当x?时，222g(x)max?0；当
3?x?2时，f(x)?16?8x，所以g(x)??8(x?1)2?2?0； 2由此可得1?x?2时，g(x)max?0．
下面考虑2n?1?x?2n且n?2时，g(x)的最大值的情况． 当2n?1?x?3?2n?2时，由函数f(x)的定义知f(x)?1x1xf()???n?1f(n?1)，因为22221?31，所以g(x)?2n?5(x?2n?2)2?8，此时当x?3?2n?2时，g(x)max?0；
2221当3?2n?2?x?2n时，同理可知，g(x)??2n?5(x?2n?1)2?8?0．
2n?1x?由此可得2n?1?x?2n且n?2时，g(x)max?0．
综上可得对于一切的n?N*，函数g(x)在区间[2n?1,2n]上有1个零点，从而g(x)在区
3间[1,2n]上有n个零点，且这些零点为xn?3?2n?2，因此，所有这些零点的和为(2n?1)． 2三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18． 解：因为an?1?Sn?1?Sn，且an?1?3Sn?5n，所以Sn?1?4Sn?5n，??2分 把Sn?bn?5n代入得bn?1?4bn，??3分
所以数列?bn?是首项为b1?S1?5?1，公比为4的等比数列，所以bn?4n?1．??5分
（2）假设数列?bn?中存在任意三项ai,aj,ak成等差数列．??6分
不妨设i?j?k?1，由于数列?bn?单调递增，所以2aj?ai?ak，所以
j?1i?1k?1，??9分 2?4?4?4因此2?4i?k?4j?k?1，此时左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，??13分
所以数列?bn?中不存在不同的三项，它们构成等差数列．??14分
19． 解：（1）设连续从甲口袋中摸出的4个球中，红球有x个，则白球有4?x个，由题设可得4x?(4?x)?10，解得x?14，??4分由x?N，得x?3或x?4，所以所求的53?0.83?0.2?0.84?0.8192．??6分 概率为P?C4（2）由题意知X可能取值分别为X?10,5,2,?3，??8分
且由每次摸球的独立性，可得：P(X?10)?0.8?0.9?0.72，P(X?5)?0.2?0.9?0.18，
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P(X?2)?0.8?0.1?0.08，P(X??3)?0.2?0.1?0.02，??12分
由此得X的数学期望为：EX?10?0.72?5?0.18?2?0.08?(?3)?0.02?8.2．??14分
20．解：（1）由AB?2PB?4BM，得PM?AB，
又因为PM?CD，且AB?CD，所以PM?面ABCD，??5分 且PM?面PAB．所以，面PAB?面ABCD。??7分
（2）由（1）可知：面DA?面PAB，延长AB与CD交于一点H， 作AN?PH，连接ND，则平面PAB与平面PCD的二面角的平面角是
?AND，??10分
在?AND中，AN?39，AD?2t， 13NP13所以sin?AND?，平面PAB与平面PCD的
4二面角的正弦值是
HDAMB13．??15分 4解法二：（1）同上； （1）如图建系，
C平面PAB的法向量为n?(1,0,0)，
zPP(0,0,3t3t),C(2t,,0),D(t,?t,0) 222A?????t3???因此PC?(2t,,t),CD?(?t,?2t,0)，??10分
22设平面PCD的法向量为m?(x,y,z)，则
DMByx?2y?0,4x?y?3z?0，
???3即可得m?(23,?3,?7)，所以cos?m,n??．
4即平面PAB与平面PCD的二面角的正弦值是
xC13．??15分 4ca2?1621．解：（1）由题意知b?1，又e??，解得a2?3，所以椭圆的方程?aa3x2为?y2?1．??7分 37 《提优卷》·数学（理科）测试卷（四） 第 7 页 共 9 页
（2）由（1）得B1(0,1),B2(0,?1)，设过椭圆的短轴的上顶点B1的直线的方程为y?kx?1，由于B1B2为圆的直径，所以直线B2A的斜率k1??1．把y?kx?1代入C1得k1?3k2?1216k1?3k21?3kk???，由题意易知，且直线的斜率为，所以BBB(?,)k?022?6k3k1?3k21?3k21?3k2k1,k2?0，且k1?3k2，??10分
??????????又在?B2AB是直角三角形，所以?AB2B必为锐角．因为B2A与B2B的方向向量分别为
????????????????????2所以B2A?B2B?(1,k1)?(1,k2)?1?3k2，又B2A?B2B?1?k12?1?k22cos?AB2B(1,k1),(1,k2)，从而cos?AB2B?1?3k221?9k?1?k2222??12分
4k22433，当且仅当时，cos?AB2B取得最小?1??1??k?22411?10k2?9k223?9k22?102k2值3?，由?AB2B为锐角得?AB2B的最大值为．??15分 2622．解：（1）因为f?(x)?3x?6x?b，所以f?(1)??3?b?3a?3，
2f(1)?b?c?2?1，即有b?3a,c??3a?3．??5分
32（2）由（1）可知f(x)?x?3x?3ax?3a?3，x?3x?3ax?3a?3??3232， 3ax?3a??x3?3x2?9932??7分 3a(x?1)??x?3x?，，22当x?1时，成立，a?R，??8分
?x3?3x2?当x?1时，3a?92x?1?t3?3t?， 令t?x?1，3a?t552??t2?3?2 t555?2t3?2令g(t)??t2?3?2，0?t?2）g?(t)??2t?2?22（，所以， ttt5555g?(t)?0?t?()3，g?(t)?0?t?()3，g(t)max?g(()3)?3?3()3， 44448 《提优卷》·数学（理科）测试卷（四） 第 8 页 共 9 页
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223?1?(5，故a4)3．??14分
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