北师大版2018-2019学年高中数学必修4习题
第二章检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列等式成立的是( )
A. ???? =???? B.a·0=0
C.(a·b)c=a(b·c) D.|a+b|≤|a|+|b| 答案:D
2.设P是△ABC所在平面内的一点, ???? +???? =2 ???? ,则( ) A. ????
+???? =0 B. ????
+???? =0 C. ????
+ ???? =0 D. ????
+???? + ???? =0 解析:由 ???? +???? =2???? ,可得P是边AC的中点,从而 ???? +???? =0. 答案:B
3.已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为π2
,则下列结论中一定成立的是(A.a=b B.|a|=|b| C.a⊥b
D.a∥b
解析:因为向量a+b与向量a-b的夹角为π
2,
所以(a+b)⊥(a-b), 即(a+b)·(a-b)=0, 所以|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|. 答案:B
4.已知点A(1,2),B(2,-1),C(2,2),若 ???? =13
???? ,???? =23
???? ,则 ????
·???? =( ) A.5 B.-5 C.3
D.-3
解析:由已知,得 ????
=(1,?3),???? =(0,3). ∴ ????
=(0,1),???? =(0,2). ∴ ???? =???? + ???? =(1,?3)+(0,1)=(1,?2), ???? = ???? +???? =(1,?3)+(0,2)=(1,?1). ∴ ????
·???? =1×1+(?2)×(?1)=3. 1
) 北师大版2018-2019学年高中数学必修4习题
答案:C
=?????? +(1???) 5.设O,A,M,B为平面上四点,????????,且??∈(1,2),则( ) A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上 C.点A在线段BM上 D.O,A,M,B四点共线
? 解析:由题意可知????????=??( ????? ????),
=?????? , 即????
∴A,M,B三点共线. 又λ∈(1,2),
|,点B在线段AM上. ∴| ????|>|????答案:B
2=???? ·???? +???? ·???? +???? ·???? ,则△ABC是( ) 6.已知△ABC满足????A.等边三角形 C.直角三角形
B.锐角三角形 D.钝角三角形
2=???? ·???? +???? ·???? +???? ·???? =???? ·( ????? )+???? ·???? =???? 2+???? ·???? ,则???? ·解析:???????? =0. ????
故△ABC为直角三角形. 答案:C
7.已知C为△ABC的一个内角,向量m=(2cos C-1,-2),n=(cos C,cos C+1).若m⊥n,则角C=( ) A.B. C.
2π5π
D. 36π6
π3
解析:由m⊥n,得(2cosC-1)·cosC-2(cosC+1)=0,
即2cos2C-3cosC-2=0,解得cosC=?或cosC=2(不符合题意,舍去).∵C∈(0,π),∴C=答案:C
8.下列说法中正确的个数为( )
+ +???? +???? = ; ①????????+????????
②若a·b<0,则a与b的夹角是钝角;
③向量e1=(2,-3),e2= 2,-4 能作为平面内所有向量的一组基底; ④若a∥b,则a在b方向上的投影为|a|. A.1
B.2
C.3
D.4
1
3
1
2
2π. 3
2
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+ +???? +???? = +???? +( +???? + +???? +???? =???? ,①正确; 解析:????????+????????????????)=????
当|a|=|b|=1且a与b反向时,a·b=-1<0,但a与b的夹角为180°,②不正确;因为e1=4e2,所以e1∥e2,所以向量e1,e2不能作为基底,③不正确;若a∥b,则a与b的夹角为0°或180°,所以a在b方向上的投影为|a|·cosθ=±|a|,④不正确.故选A. 答案:A
+5 =0,则∠ACB=( ) 9.已知O是△ABC外接圆的圆心.若3????????+7????A.6B.3C.6D.3
解析:由O是△ABC外接圆的圆心,
2 |=| |=??,由3 =0,可得 =?1(3 设| ????|=|????????????+5 ????+7????????????+5????),平方可得R=7
ππ5π2π
12(9??2+30??2cos2∠ACB+25R),解得49
cos2∠ACB=2,故由题意得,∠ACB=6.
1π
答案:A
=(??,1),???? =(2,4).若| |≤ 10,则△ABC是直角三角形的概率为( ) 10.已知k∈Z,????????A.B.C.D. |≤ 10及k∈Z,知k∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}. 解析:由| ????
=(??,1)与 =(2,4)垂直, 若 ????????则2k+4=0,解得k=-2;
=???? ????? =(???2,?3)与 =(??,1)垂直, 若????????则k(k-2)-3=0,解得k=-1或3; 与 垂直, 若????????
·???? =0,(2,4)·则????(k-2,-3)=2k-4-12=0, 即k=8,不符合题意,
所以△ABC是直角三角形的概率是7. 答案:C
11.若非零向量a,b满足|a|=A.4B.2C.4D.π
解析:由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a·b-2|b|2=0.设a与b的夹角为θ,所以3|a|2-|a||b|cosθ-2|b|=0,即
2
172737473
2 2|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则3
a与b的夹角为( )
ππ3π
2 23· 3|??|
2
?3|b|2cosθ-2|b|2=0,整理,得cosθ=2,故??=4.
2 2 2π
3
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答案:A
12.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至点E,使得DE=CD.若动点P从点A出发,沿正方形的边 =?????? +?????? ,则下列判断中正确的是( ) 按逆时针方向运动一周回到点A,其中????
A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点 B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个 C.λ+μ的最大值为3 D.λ+μ的最小值不存在
解析:由题意可知,λ≥0,μ≥0,当λ=μ=0时,λ+μ的最小值为0,此时点P与点A重合,故D错误;
当λ=1,μ=1时,点P也可以在点D处,故A错误;
当λ=1,μ=0,λ+μ=1时,点P在点B处,当点P在线段AD的中点时,λ=μ=,亦有λ+μ=1.所以B错误. 答案:C
1
2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.设向量a=(x,3),b=(2,1).若对任意的正数m,n,向量ma+nb始终具有固定的方向,则x= . 解析:当a与b共线时,向量ma+nb始终具有固定的方向,所以x=6. 答案:6
14.直线l经过原点O,且与向量a=(2,3)垂直,则直线l的方程为 . 解析:设直线l上的一点为A(x,y),
则 ????为直线l的方向向量. ·由题意,知????a=0,所以2x+3y=0, 故直线l的方程为2x+3y=0. 答案:2x+3y=0
15.在△ABC中,点M,N满
=2???? ,???? .若???? +?????? ,则??= ,??= . =???? =??????足????
解析:如图,
+ =????????????
4
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==
1 1 ????????? 321 1 ?????(?????????) 32=
1 1
?????????, 26∴x=2,??=?6. 答案:2 ?6
16.关于平面向量有下列四个命题:①若a·b=a·c,则b=c;②已知a=(k,3),b=(-2,6),若a∥b,则k=-1;③若非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为
30°;④ + · - =0.其中正确的命题为 .(写出所有正确命题的序号)
|??||??||??||??|解析:①中,a·b=a·c?a·(b-c)=0,当a=0时也成立,①不正确;②中,若a∥b,则
??
-2
??
??
??
??
1
1
11
=6?k=-1,②正确;③中,
=
??2 |??| 3
由已知可得a,b的夹角为60°,a与a+b的夹角为
??2 |??| ????????
30°,③正确;④中, + · -
|??||??||??||??|
?
=
??2|??|
2?
??
22|??|
=0,④正确.
答案:②③④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
=a, 17.(10分)如图,在?ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,G为DE与BF的交点.若????????=b,试以 . ,???? ,????a,b为基底表示????
解连接AE,AF,BD.
? + = ? ????????????=????????????
=a+?????=?????,
? = =????????????????+ ?????????
=b+2?????=???2??. 因为G是△CBD的重心,
=×???? =???? =????? =?(a+b). 所以 ????323332
1
1
1
1
1
1
1
212 5