北师大版2018-2019学年高中数学必修4习题
18.(12
=(6,3),在 上是否存在点??,使 分)设 ????=(2,5), ????=(3,1),????????????⊥ ?????若存在,求出点??的坐标;若不存在,请说明理由. =?????? =(6??,3??)(0≤λ≤1), 解设存在点M,且????
则 ????=(2?6??,5?3??), ????=(3?6??,1?3??),
∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0. ∴45λ2-48λ+11=0, 解得λ=3或??=15.
=(2,1)或 ∴????????=
∴存在点M(2,1)或
2211
, ,使 ????551
11
2211, . 55⊥ ????.
=???? +?????? (??∈R). 19.(12分)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P满足 ????(1)当λ为何值时,点P在正比例函数y=x的图像上? (2)设点P在第三象限,求λ的取值范围.
解由已知,知A,B,C三点的坐标依次是(2,3),(5,4),(7,10).
设点P的坐标为(x1,y1),
=(??1?2,??1?3), 则 ????
+?????? =(5?2,4?3)+??(7?2,10?3), ????
+?????? =(3+5??,1+7??). 即 ????
=???? +?????? , 由????
得(x1-2,y1-3)=(3+5λ,1+7λ).
??-2=3+5??,??=5+5??,由此可得 1? 1
??1=4+7??.??1-3=1+7??所以点P的坐标是(5+5λ,4+7λ). (1)令5+5λ=4+7λ,可得λ=2,
所以,当λ=时,点P在正比例函数y=x的图像上. 5+5??<0,(2)因为点P在第三象限,所以
4+7??<0.解得λ<-1,
所以λ的取值范围是(-∞,-1).
???????? 20.(12分)如图,在矩形ABCD中,|????|=4,|????|=3,e1= ,e2= .
1
1
2|????||????|
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=??e1+ye2,求x,y的值; (1)若????
与 的夹角的余弦值. (2)求????????
|=4,| |=3,e1=????,e2=????, 解(1)∵|???????? |????||????|
=???? +???? =4e1+3e2, ∴????∴x=4,y=3.
=3e2-4e1. = (2) ????????? ???? 与???? 的夹角为θ, 设????
|=| |= 32+42=5,|e1|=|e2|=1,e1·∵| ????????e2=0, ∴cosθ=
· ???????? ||???? || ????
=
(3??2+4??1)·(3??2-4??1)
5×5
=?
7. 25
·???? =???? ·???? . 21.(12分)在△ABC中,设????(1)求证:△ABC为等腰三角形;
+???? |=2,且??∈ π,2π ,求???? ·???? 的取值范围. (2)若| ????33 ·???? =???? ·???? , (1)证明因为????
·( ????? )=0. 所以 ????????
+???? +???? =0,则???? =?( +???? ), 又 ???????? +???? )·(???? ????? )=0, 所以-( ???? |2=|???? |2, 所以|????即AB=BC,
故△ABC为等腰三角形. (2)解因为B∈ 3,3 ,
11 +???? |=2,得| +???? |2=4, 所以cosB∈ -2,2 .设AB=BC=a,则由| ????????
π2π
即a2+a2+2a2cosB=4, 所以a2=1+cos??,
·???? =??2cosB=2cos??=2?2, 所以 ????
1+cos??1+cos??2
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又cosB∈ -2,2 , ·???? ∈ -2,2 . 所以 ????3 =1???? +2 22.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足 ????????. 33(1)求证:A,B,C三点共线; (2)求
|| ????
的值; || ????
11
·???? ? 2??+ |???? |的最小值为?(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈ 0,2 ,??(??)=????33
,求实数??的值. 22 =1 (1)证明∵????????+????, 33π2
????? =∴???? =即????
2
(?????????), 32 ????.∴????∥????. 3又AC,AB有公共点A, ∴A,B,C三点共线.
=2???? =2( +???? ), (2)解由(1)得????????33∴
1 2
????=????, 33 || ???? ||????
=2 , ∴????????∴
=2.
=(1+cosx,cosx)-(1,cosx)=(cosx,0). (3)解 ????∵x∈ 0,2 , ∴cosx∈[0,1]. |=|cosx|=cosx. ∴| ???? =2 , ∵????????
????? =2( ). ∴?????????????
=2???? +???? =2(1+cosx,cosx)+(1,cosx)=(3+2cosx,3cosx), ∴3????
π
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= 1+∴????
2
cos??,cos?? . 3 ? 2??+2 |???? | ∴f(x)= ????·????3=1+3cosx+cos2x? 2??+3 cosx =(cosx-m)2+1-m2,cosx∈[0,1].
若m<0,则当且仅当cosx=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为?相矛盾,即m<0不符合题意; 若0≤m≤1,则当且仅当cosx=m时,f(x)取得最小值1-m2. 由1-m2=?, 得m=±2(舍去);
若m>1,则当且仅当cosx=1时,f(x)取得最小值2-2m.由2-2m=?,得m=>1. 综上所述,实数m的值为.
7
432
74
1022
3232
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