22式中?m，?是在区间[t,t??]内决定目标机动特征的待定参数；?m是目标的加速度
方差，?是机动时间的倒数，即机动频率，通常?的经验取值范围是：目标是飞机慢速转弯，1取60s，对于逃避机动取20s。
?Singer对应的离散时间状态方程为：
X(k?1)?F(k)X(k)?V(k) (4.22)
??T?(?T?1?e)?1T??2?????T(1?e)? (4.23) ??01?????T?00?e????F?eAT?q112?其离散时间过程噪声V具有协方差Q?2??m?q21??q31q12q22q32q13?q23??，且Q为对称阵。 q33??其中：
?12?3T2?2?T22??Tq?[1?e?2?T??2?T?4?Te]?1152?3??q?1[e?2?T?1?2e??T?2?Te??T?2?T??2T2]?122?4??q?1[1?e?2?T?2?Te??T]?132?3 (4.24) ??q?1[4e??T?3?e?2?T?2?T]?222?3??q23?12[e?2?T?1?2e??T]2???1[1?e?2?T]?q33?2??4.2.3仿真结果
在确定了滤波初始值和运动模型后，即可估计目标的运动轨迹。滤波模型中的核心过程[9]如下：
for i=1:l-1
Xkk1(:,i)=Fk*Xkk(:,i); %一步预测
Pkk1=Fk*Pkk*Fk'; %一步预测均方误差
Kk=Pkk1*Hk'*inv(Hk*Pkk1*Hk'+R); %滤波增益
Xkk(:,i+1)=Xkk1(:,i)+Kk*(Zkcl(:,i)-Hk*Xkk1(:,i)); %状态估计 Pkk=Pkk1-Pkk1*Hk'*inv(Hk*Pkk1*Hk'+R)*Hk*Pkk1; %估计均方误差 end
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滤波结果如下图所示，
x 103.154150003.1100003.0550003150001000050000-50000
图4.8 滤波结果
由此可知目标在被跟踪期间发生的较为明显的机动时间，具体信息由表1给出
表 1 机动发生时间表 机动序号 发生时间(s) 1 36724.4—36744.4 2 36961.4—37199.4 4.3跟踪模型稳定性研究 ??E?X?,P?Var[X]时，滤波器的估计从开始就是无偏的，且估上文指出，当X0000计均方误差是最小的。但是在本题的具体实践中，很难得到初始状态的验前统计值。如
?和P各自都逐渐不受其初值的影响，则滤波器是稳定的。果滤波器随时间的增加，Xkk下面分析本题中所建立的卡尔曼滤波器的稳定性。
滤波稳定条件最早由卡尔曼提出，参考文献[10]提出了离散系统滤波稳定的充分条件。
离散系统状态方程和量测方程为:
Xk?Fk,k?1Xk?1?Wk (4.25) Zk?HkXk?Vk (4.26)
式中
?E[Wk]?0,E[WkWjT]?Qk?kj?T?E[Vk]?0,E[VkVj]?Rk?kj (4.27)
T?E[WV]?0kj? 11 - -
如果系统一致完全随机可控和一致完全随机可观测，且Qk 和Rk正定，则卡尔曼滤波器是一直逐渐稳定的。 完全随机可控指：
?(k,k?N?1)?i?k?N?1?kkFk,iTQiT?1FkT,i?0 (4.27)
完全随机可观测指：
?(k,k?N?1)?i?k?N?1?Fi,kTHiTRi?1HiFiT,k?0 (4.28)
结合本题情况，从物理意义可见系统满足随机可控和随机可观测的条件。从Kk的过程来看：
??Kk?Pkk?1??????Pkk?1(1,1)???1??Pkk?1(1,1)?R?Pkk?1(1,1)?R??Pkk?1(2,1)???? (4.29) 0???P(1,1)?R???kk?10??P(3,1)???kk?1?P(1,1)?R??kk?1?可见，Kk始终有值，使每一步计算都能利用量测中的最新信息，修正旧估计，得到新的实时估计。一般在P随估计过程的进行，Pk?1是逐渐下降的，0去较大值得情况下，下降程度去Q和R有关。而Pkk?1却比Pk?1大，增大的值与Q有关。因此当下降值与增大值相当时，Kk趋于稳定值，滤波呈稳定状态。
实际在问题求算过程中，因为观测值有限，为了防止滤波稳定时间超过量测时间，
所以本文采用拟合算法选取目标状态初始值是有必要的和可行的。
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五、问题二模型的建立与求解
5.1问题二分析
Data2给定了雷达获得的两个机动目标的测量数据，为了得到两个机动目标各自的航迹，首先要判断信息属于哪个目标，即进行数据关联[11]。
本文先根据Data2中的数据直接得到目标点迹来粗略观测目标的轨迹，通过坐标变换得到目标在站心切平面坐标系中的坐标，描点可得下图：
5500500045004000350030002500200015001.510.50x 104-0.5-1-1.5123456789x 104
图5.1 观测数据描点图
由于目标的不规则运动以及误差的影响，得到的点迹图杂乱无章，很难提取有效信息。因此我们进行了降维处理，得到目标运动轨迹在水平面的投影如下图：
1.5x 10410.50-0.5-1-1.5-1012345678x 1094
图5.2 目标水平面运动轨迹
从图中可以清楚的看到两条轨迹，即目标飞行包线在水平面的投影。再以这两条粗略的轨迹为基础，依据5.2中的数据关联算法分别得到两条不同的投影，从而得到两个目标的航迹。
5.2问题二模型的建立与求解
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1）主成分线性回归得到初始航迹投影
从已给数据可知雷达的扫描周期较小（1s左右），且目标据雷达距离相对较远。可以假定在一小段时间内雷达扫描两个目标的先后顺序没有发生变化，由于目标的机动要受到诸多限制，所以这种假定可以认为是合理的。考查前200个点，分别取奇数点和偶数点得到以下两图，把它们作为两个目标的初始航迹投影粗略值：
1200020001000008000-20006000-40004000-60002000-80000-10000-20007.67.77.87.988.18.28.38.48.5x 104-120007.67.77.87.988.18.28.38.48.5x 104
图5.3 初始航迹估计
通过主成分线性回归[12]得：
120002000100000-20008000-40006000-60004000-80002000-1000007.67.77.87.988.18.28.38.48.5x 104-120007.67.77.87.988.18.28.38.48.5x 104
图5.4 初始航迹
由此得到粗略的初始航迹，可以为下面的数据关联算法和卡尔曼滤波提供所需的初始值。
2)数据关联算法得到两个目标的航迹投影 计算目标的预测位置和有效回波之间的距离：
??1????kk?1??d2?z?k????zk?zkk?1??????S?k???z?k??z?
????k?S?1?k???k? (5.1)
其中??k?为卡尔曼滤波的残差，S?k?表示v?k?的协方差，d?k?为定义的统计距离。当满足d?k???时，则保留该点击，不满足的则剔除。其中?为跟踪门限（采用矩形跟踪门），如此可以得到与航迹配对的所有可能的点迹。若此时只有一个点迹满足要求,就取该点迹为目标的新点迹。反之，当跟踪门内的点迹大于1个时,则将d?k?最小的点迹作为新的点迹。
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