海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（理）
答案及评分参考 2011．4
选择题 （共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 D 6 B 7 B 8 D 非选择题 （共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）
9.1?2i 10. s1>s2>s3 11. 70?； 3 12.
12 13. ① ③ 14. (2,4); 3
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.（共13分） 解：（I）因为tanB?12，tanC?13,tan(B?C)?1?1213?13tanB?tanC1?tanBtanC, ???????1分
代入得到，tan(B?C)?21??1 . ???????3分
因为A?180??B?C , ???????4分 所以tanA?tan(180?(B?C))??tan(B?C)??1. ???????5分 （II）因为0??A?180?，由（I）结论可得：A?135? . ???????7分 因为tanB?12?tanC?13?0?，所以0??C?B?90? . ????8分
所以sin由
asinAB?55,sinC?1010. ????9分
?csinC得a?5， ???????11分
所以?ABC的面积为：
12acsinB?12. ??????13分
AD16. （共14分）
解：(Ⅰ)证明：∵AD//EF,EF//BC，
∴AD//BC.
又∵BC?2AD,G是BC的中点， ∴AD//BG，
∴四边形ADGB是平行四边形，
∴ AB//DG. ?????2分 ∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，
∴AB//平面DEG. ???????4分 (Ⅱ) 解法1
证明：∵EF?平面AEB，AE?平面AEB， ∴EF?AE， 又AE?EB,EB?EF?E，EB,EF?平面BCFE，
∴AE?平面BCFE. ?????????5分
过D作DH//AE交EF于H，则DH?平面BCFE.
∵EG?平面BCFE， ∴DH?EG. ?????????6分 ∵AD//EF,DH//AE，∴四边形AEHD平行四边形， ∴EH?AD?2，
∴EH?BG?2，又EH//BG,EH?BE， ∴四边形BGHE为正方形，
∴BH?EG， ?????????7分
又BH?DH?H,BH?平面BHD，DH?平面BHD,
∴EG⊥平面BHD. ?????????8分 ∵BD?平面BHD,
∴BD?EG. ?????????9分 解法2
∵EF?平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，∴EF?AE，EF?BE，
又AE?EB,
∴EB,EF,EA两两垂直. ????????5分
EB,EF,EA分别为x,y,z轴建立如图的以点E为坐标原点，
BEHFGCzAD空间直角坐标系.
由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），
C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2）， G（2，2，0）. ??????????6分
????????∴EG?(2,2,0)，BD?(?2,2,2)，???7分
xBEFyGC????????∴BD?EG??2?2?2?2?0, ???8分
∴BD?EG. ??????????9分
????(Ⅲ)由已知得EB?(2,0,0)是平面EFDA的法向量. ??????????10分 ????????设平面DCF的法向量为n?(x,y,z)，∵FD?(0,?1,2),FC?(2,1,0)，
????????y?2z?0?FD?n?0∴??????，即?，令z?1,得n?(?1,2,1). ??????????12分
?2x?y?0??FC?n?0设二面角C?DF?E的大小为?，
?????26则cos??cos?n,EB??， ??????????13分 ??62666∴二面角C?DF?E的余弦值为?17. （共13分）
. ??????????14分
解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A ??????????1分
事件A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ?????2分
p(A)?610?410?23?1315 ??????????4分
(Ⅱ) 由题可知X可能取值为0,1,2,3.
P(X?0)?C4C6C10C4C6C10312330?13012,P(X?1)?C4C6C10C4C6C10303321?31016,
P(X?2)??,P(X?3)??. ??????8分
X P 0 1301 3102 123 16 ?????9分
(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ?????10分 事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，P(B)?
18. （共13分） 解：（Ⅰ）
f(x)131?()?. ?????13分 3038101的定义域为(0,??)， ?????????1分
当a?1时，f(x)?x?lnx，f?(x)?1?x f?(x) f(x) (0,1) 1x?x?1x ， ?????????2分
1 0 极小 (1,??)
?????????3分
— +
所以f(x)在x?1处取得极小值1. ?????????4分 （Ⅱ）h(x)?x?h?(x)?1?1?ax21?ax2?alnx，
?(x?1)[x?(1?a)]x2?ax?x?ax?(1?a)x2①当a?1?0时，即a??1时，在(0,1?a)上h?(x)?②当1?a?0?????????6分
0，在(1?a,??)上h?(x)?0，
所以h(x)在(0,1?a)上单调递减，在(1?a,??)上单调递增； ?????????7分
，即a??1时，在(0,??)上h?(x)?0，
所以，函数h(x)在(0,??)上单调递增. ?????????8分 （III）在?1,e?上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，即
在?1,e?上存在一点x0，使得h(x0)?0，即 函数h(x)?x?1?ax?alnx在?1,e?上的最小值小于零. ?????????9分
由（Ⅱ）可知
①即1?a?e，即a?e?1时， h(x)在?1,e?上单调递减， 所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)?因为
e?1e?12e?1?ae?a?0可得a?e?1e?12，
?e?1，所以a?e?1e?12； ?????????10分
②当1?a?1，即a?0时， h(x)在?1,e?上单调递增，
a?0所以h(x)最小值为h(1)，由h(1)?1?1?③当1?1?可得a??2； ?????????11分
a?e，即0?a?e?1时， 可得h(x)最小值为h(1?a)，
因为0?ln(1?a)?1，所以，0?aln(1?a)?a 故h(1?a)?2?a?aln(1?a)?2
此时，h(1?a)?0不成立. ?????????12分 综上讨论可得所求a的范围是：a
19. （共14分）
?e?1e?12或a??2. ?????????13分
解：（Ⅰ）由已知可得e?322a?ba222?141，所以3a2?4b2 ① ?????1分
94b2 又点M(1,)在椭圆C上，所以
22a2??1 ② ?????2分
由①②解之，得a?4,b?3.
x2 故椭圆C的方程为
4?y23?1. ?????5分
(Ⅱ) 由??y?kx?m,?xy??1.?3?422
消y化简整理得：(3?4k)x?8kmx?4m?12?0，
??64km?4(3?4k)(4m?12)?48(3?4k?m)?0 ③ ?????8分 (x2,y2)、(x0,y0)，则 设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、x0?x1?x2??8km3?4k2222222222,y0?y1?y2?k(x1?x2)?2m?6m3?4k2. ?????9分
由于点P在椭圆C上，所以
x042?y032?1. ?????10分
从而
16km2222(3?4k)?12m222(3?4k)?1，化简得4m2?3?4k，经检验满足③式. ???11分
2 又|OP|?x0?y0?2264km2222(3?4k)?36m222(3?4k)
?4m(16k?9)(3?4k)34k?322222?16k?94k?322
?4?12. ?????????12分
3434k?32 因为k?，得3?4k2?3?4，有
132??1，
故3?OP?.