立体几何（5）
81. 有三个几何事实(a，b表示直线，?表示平面)，① a∥b，② a∥?，③ b∥?．其中，a，b在面?外．
用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪．正确的给出证明，错误的举出反例． 解析：Ⅰ： a∥b a∥? ?b∥? b在?外 Ⅱ：a∥b
b∥? ?a∥? a在?外
Ⅰ、Ⅱ是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行．
证明：过a作平面?与?交于a? ∵ a∥? ∵ a∥a? 而a∥b ∴ b∥a?且b在?外，a?在?内 ∴ b∥?． Ⅲ：a∥?
?a∥b b∥?
命题：平行于同一个平面的两条直线平行，
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这是错的，如右图
82. 两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行．
已知：、是两个平面，直线l⊥，l⊥，垂足分别为A、B． 求证：∥思路1：根据判定定理证．
l证法1：过l作平面，
γ Aδ E∩＝AC，∩＝BD， 过l作平面，
∩＝AE，∩＝BF，
? CB? DFl⊥l⊥
?l⊥AC
?l⊥BD ?AC∥BD?AC∥，
l、AC、BD共面
同理AE∥，AC∩AE≠
，AC，AE?，故∥．
思路2：根据面面平行的定义，用反证法． 证法2：设、有公共点P 则l与P确定平面， 且∩＝AP，∩＝BP．
l⊥l⊥
?l⊥AP ?l⊥BP
l、AP、BP共面，于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直，这是不可能的．
故、不能有公共点，∴ ∥．
83. 已知：a、b是异面直线，a?平面，b?平面，a∥求证：∥．
证法1：在a上任取点P， 显然P∈b． 用心 爱心 专心
2
，b∥．
于是b和点P确定平面． 且∴
与
有公共点P
b
∩＝b′
且b′和a交于P， ∵ b∥∴ b∥b′ ∴ b′∥ 而a∥ 这样
内相交直线a和b′都平行于 ，
∴ ∥．
证法2：设AB是a、b的公垂线段， 过AB和b作平面
∩?＝b′， 过AB和a作平面
， ，
?∩＝a′．
a∥??a∥a′ b∥??b∥b′
∴AB⊥a?AB⊥a′，AB⊥b?AB⊥b′ 于是AB⊥
且AB⊥，∴ ∥．
84. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a∥c，b∥c?a∥b； ②a∥r，b∥r?a∥b； ③α∥c，β∥c?α∥β；
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④α∥r，β∥r?α∥β； ⑤a∥c，α∥c?a∥α； ⑥a∥r，α∥r?a∥α． 其中正确的命题是
(A) ①④ (C) ①②③
(B) ①④⑤ (D) ①⑤⑥
( )
解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题②错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题③错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题④正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题⑤、⑥都是错的，答案选A．
85. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是 ( )
(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 要依P点的位置而定 解析：由题设知B1M∥AN且B1M=AN， 四边形ANB1M是平行四边形， 故B1N∥AM，B1N∥AMC1平面．
又C1M∥CN，得CN∥平面AMC1，则平面B1NC∥AMC1，NP?平面B1NC， ∴ NP∥平面AMC1． 答案选B．
86. 已知：正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为a． (1) 求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
P
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(2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离． 证明：(1) 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， ∵ BB1平行且等于DD1， ∴ 四边形BB1D1D是平行四边形， ∴ BD∥B1D1， ∴ BD∥平面B1D1C． 同理 A1B∥平面B1D1C， 又A1B∩BD=B，
∴ 平面A1BD∥平面B1D1C 解：(2) 连AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于N．
AC是AC1在平面AC上的射影，又AC⊥BD，
∴ AC1⊥BD， 同理可证，AC1⊥A1B，
∴ AC1⊥平面A1BD，即MN⊥平面A1BD， 同理可证MN⊥平面B1D1C．
∴ MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离，
设AC、BD交于E，则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E．∵ M∈平面A1BD，M∈AC1?平面A1C， ∴ M∈A1E． 同理N∈CF．
在矩形AA1C1C中，见图9－21(2)，由平面几何知识得
MN?13AC1， 用心 爱心 专心 5