∴ MN?3a． 3评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系．证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法．
87. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC的中点． (1) 求证AB1∥平面C1BD；
(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离． 证明：(1) 设B1C∩BC1=O． 连DO，则O是B1C的中点．
在△ACB1中，D是AC中点，O是B1C中点． ∴ DO∥AB1，
又DO?平面C1BD，AB1?平面C1BD， ∴ AB1∥平面C1BD．
解：(2) 由于三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC中点， ∴ BD⊥AC，且BD⊥CC1， ∴ BD⊥平面AC1，
平面C1BD⊥平面AC1，C1D是交线． 在平面AC1内作AH⊥C1D，垂足是H， ∴ AH⊥平面C1BD，
又AB1∥平面C1BD，故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离．由BC=8，B1C=10，得CC1=6， 在Rt△C1DC中，DC=4，CC1=6，
sin?C1DC?642?62?313
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在Rt△DAH中，∠ADH=∠C1DC ∴ AH?AD?sin?C1DC?1213． 13即AB1到平面C1BD的距离是
1213． 13评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO．本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB1∥平面C1BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离．
88. 已知：直线a∥平面?．求证：经过a和平面?平行的平面有且仅有一个．
证：过a作平面与?交于a?，在?内作直线b?与a?相交，在a上任取一点P，在b?和P确定的平面内，过P作b∥b?．b在?外，b?在?内， ∴ b∥? 而a∥?
∴ a，b确定的平面?过a且平行于?．
∵ 过a，b的平面只有一个，
∴ 过a平行于平面?的平面也只有一个
89. 已知平面?、?、?、?．其中?∩?=l，?∩?=a，?∩?=a?，a∥a?，?∩?=b，
?∩?=b?，b∥b?
上述条件能否保证有?∥?？若能，给出证明，若不能给出一个反例，并添加适当的条件，保证有?∥?．
不足以保证?∥?．
l如右图．
?b＇用心 爱心 专心
a＇?ab7
??如果添加条件a与b是相交直线，那么?∥?．
证明如下：
a∥a??a∥?
b∥b??b∥?
∵ a，b是?内两条相交直线， ∴ ?∥?．
90. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行. 已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c. 求证：a、b、c相交于同一点，或a∥b∥c. 证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b ∴a、b?β ∴a、b相交或a∥b.
(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b 而a、b?β，a?α
∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点 又∵α∩γ＝c 由公理2知P∈c
∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点. (2)当a∥b时
∵α∩γ＝c且a?α，a?γ ∴a∥c且a∥b
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∴a∥b∥c
故a、b、c两两平行.
由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.
说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.
91. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF. 求证：EF∥平面BB1C1C.
证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M. ∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB
∴
AFFM?DFBF 又∵BD＝B1A，B1E＝BF ∴DF＝AE
∴
AFAEFM?BE 1∴EF∥B1M，B1M?平面BB1C1C ∴EF∥平面BB1C1C.
证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE ∵AD∥BC
∴FH∥BC，BC?BB1C1C ∴FH∥平面BB1C1C 由FH∥AD可得
BFBD?BHBA 又BF＝B1E，BD＝AB1
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∴
B1EBH ?AB1BA∴EH∥B1B，B1B?平面BB1C1C ∴EH∥平面BB1C1C，
EH∩FH＝H
∴平面FHE∥平面BB1C1C
EF?平面FHE
∴EF∥平面BB1C1C
说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.
92. 已知：平面α∥平面β，线段AB分别交α、β于点M、N；线段AD分别交α、β于点C、D；线段BF分别交α、β于点F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，△FMC面积=(m+p)(n+p),求：END的面积.
解析：如图，面AND分别交α、β于MC，ND，因为α∥β， 故MC∥ND，同理MF∥NE，得 ∠FMC＝∠END，
∴ND∶MC＝（m+p)：m和EN∶FM＝n∶(n+p)
1?EN?ND?sinEND2S△END∶S△FMC＝ 1?FM?MC?sinFMC2得S△END＝
ENND?×S△FMC FMMC＝
nnm?p2
?·(m+p)(n+p)=(m+p)
mn?pmn2
(m+p)平方单位. m∴△END的面积为
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