部分习题参考答案：
第一讲思考题
习题2.有人说“我在说谎”，他是否属于所有说谎人所组成的集合？试分析说明之。 解：设说谎人集合为A,诚实人集合为B，则这人既不属于A,也不属于B。 因为①如果属于A，他现在说“我在说谎”，说明他是诚实人了，则不属于A，故矛盾。 ②如果属于B，他现在说“我在说谎”，说明他是说谎人了，则不属于B，故又矛盾 从而可知这人既不属于A,也不属于B。这其实说的是罗素的“理发师悖论”，这也说明集合是不能够随便定义的！
习题4.证明长度为1的线段和长度为2的线段的基数相同。
证明1：设△ABC的中位线为l1和△ABC底边l2，且线段l1,l2的长度分别是为1和2，设A是线段l1上的点集，B是线段l2上的点集，如图所示，显然A~B，故结论成立。
证明2：设长度为1的线段为区间A=(0,1)，长度为2的线段为B=(0,2)，建立A到B的一一映射：y=2x，这样A~B，即基数相等。
习题6.求集合M?{1,2,3,?,100}的所有子集的元素和之和（规定空集的元素和为0）。
解：由幂集P(M)（即M的所有子集组成的集合）的元素可知，要求幂集P(M)的元素和之和只要知道集合M的每个元素在幂集中出现的次数即可求得，下面就来求各元素出现的次数：①幂集P(M)中的空集?，个元素出现的次数为0，②幂集P(M)中的单个元素集合如{1}，每个元素出现的次数为C99，因为这时可以认为先从集合M中任取一个元素确定下来，还需从集合M中余下的99个元素中任取0个元素，故每个元素出现的次数为C99；③幂集P(M)中的两个元素集合如{1,2}，每个元素出现的次数为C99，因为这时可以认为先从集合M中任取一个元素确定下来，还需从集合M中余下的99个元素中任取1个元素，故每个元素出现的次数为C99；以此类推……..，有④幂集P(M)中的100个元素集合如
{1,2,?,100}，每个元素出现的次数为C99，因为这时可以认为先从集合M中任取一个元
991100素确定下来，还需从集合M中余下的99个元素中任取99个元素，故每个元素出现的次数为C99；所以幂集P(M)的元素和之和为：
99S?(1?2?3???100)(C99?C99???C99)?5050?2019999
习题7.证明：由直线上互不相交的开区间作为集A的元素，则A至多为可数集。 证明：因为任一开区间中必含有一个有理数，所以A与有理数的子集对等，而可数集的非空子集为有限集或为可数集，即A至多是可数集。
??习题8.设Ai(i?1,2,3,?)都是可数集，则?Ai也是可数集。
i?1证明：先设Ai,i?1,2,3,?是互不相交的可数集，且Ai,i?1,2,3,?中的元素都可排列
??成一个无限序列Ai?{ai1,ai2,ai3,?},i?1,2,3,?，则?Ai中的元素可按如下的箭头方向
i?1排列：
A1?{a11?a12,a13?a14,a15?a16,?}
?? ?? ?
A2?{a21,a22,a23,a24,a25,a26,?}
?? ?? ?
A3?{a31,a32,a33,a34,a35,a36,?}
?? ?
A4?{a41,a42,a43,a44,a45,a46,?}
?? ?
A5?{a51,a52,a53,a54,a55,a56,?}
?
称p?q?h为元素apq(p,q?1,2,?)的高度，按高度的大小编号，如上按箭头方向，这样
??就可以将?Ai中的所有元素排成一列，即
i?1????i?Ai?1?{a11,a12,a21,a31,a22,a13,a14,a23,a32,a41,?}，故?Ai可数集。
i?1n?1??????对一般情形可设B1?A1,Bn?An\\?Ai,n?2，则?Bi为不交集列，且?Bi?i?1i?1i?1?Ai?1i，从
??而由前面证明可知?Ai仍为可数集。
i?1若不同的两个Ai与Aj(i?j)有公共元素，则应从该序列中删去重复的元素，但删去后，它
??仍是一个无限集，因此?Ai是一可数集。
i?1习题9.可数集E的外测度为零。
证明：因为E是可数集，所以可设E?{r1,r2,r3,?}，对任给的??0，令
Ii?(ri??2i?1,ri??2则区间的长度为Ii?ri?)，i?1???2i?1?ri??2i?1??2i显然E,i?1,2,?，
中的每一点都是
?Ii?1i的内点，因为区间Ii(i?1,2,?)可以彼此相交，所以
??mE?*?2i?1?i??，而?可以取任意小的正数，所以mE?0
*第二讲思考题
1．尽管欧几里得的《几何原本》有严重的缺陷，但它却有巨大的历史意义，怎样理解它的历史意义？ 解：《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范．在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设（定义、公设、公理）出发，运用逻辑推理的方法展开和叙述的．也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科．
2.为什么说非欧几何学的诞生促进了几何学公理体系的建立？
解：罗氏几何的创立不仅解决了第五公设的独立性问题更重要的是：它扩大了对几何本身意义的认识．自从第一种非欧几何——罗氏几何的思想获得承认以后，几何学的发展便开始了繁荣的新时期．几何对象的推广，即抽象空间概念的形成在数学的近代阶段中起了巨大的作用．非欧几何在分析和代数方面的应用也胜过了欧氏几何．
数学发展的现代阶段的开端，特别是现代几何学的开端通常以罗氏几何的发现作为其标志之一．第五公设的试证导致发现非欧几何，这引起了几何学上的革命，也促进了几何基础问题的研究．非欧几何发现后，许多数学家参加了使几何基础的结构崭然一新的工作．例如，1866年，赫姆霍尔兹(Helmho1Lzl1821一1894年)提出运动概念作为基本概念，列入他的深奥的公理系统中．187l年，德国数学家康托儿(Contor，1845—1918年)和1872年德国数学家戴德金(Dedekind，1831—1916年)拟成了(关于直线的)连续公理．1882年德国数学家巴士(M．Pasch，1843一1930年)拟成了顺序公理. 3．试述罗氏平行线的性质和欧氏平行线的性质有何异同？
解：欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样．欧氏几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”．罗氏几何讲“过直线外一点存在两条直线和已知直线平行”。
4．在欧氏几何公理体系中，证明三角形角边角合同定理，即在△ABC和△A'B'C'中，若
AB?A'B',?ABC??A'B'C',?BAC??B'A'C',则?ABC??A'B'C'.
证明：只需证明BC?B'C'即可，如下图所示，假设BC,B'C'不合同且BC?B'C'，则可在B'C'内部取一点D'使BC?B'D'，在△ABC和△A'B'D'中有：
AB?A'B',?ABC??A'B'D',BC?B'D',由公理???5可得?BAC??B'A'D'这与已
知?BAC??B'A'C'矛盾，所以BC?B'C'，故由三角形边角边合同定理（即课本例8）即AB?A'B',?ABC??A'B'C',BC?B'C'，得?ABC??A'B'C'。
5．在欧氏几何公理体系中，试证明：每条直线上至少有5个点。
6．在欧氏几何公理休系中，试证明：在一条直线上的任意三个点中，总有一个点在另外两个点之间．
证明：设一直线上有三点A，B，C，由公理II3知，在三点A，B，C里至多只有一个点位于其他两点之间，所以设点A不位于点B和点C之间，且C不位于点B和点A之间，下面证明点B位于点A和点C之间。
由公理?3可知直线AC之外有点D，由II2可知在直线BD上存在一点G，使得D位于B和G之间（如下图所示），由巴士公理得AD交CG于E点，CG交AG于F点，且E，F分别是CG和AG的内点；所以在?AEG中，因为点F是AG的内点，由巴士公理可知点D也是AE的内点；同理在?AEC中，因为点D是AE的内点，由巴士公理可知点B也是AC的内点,即点B位于点A和点C之间。
7，在罗氏几何公理体系中，试证明：半圆上的圆周角小于直角．
证明：设半圆上的圆周角为?ACB（如下图所示），连结线段OC，有等腰三角形?ACO和等腰三角形?BCO，且各个角的表示如图所示，则???,???，因为???????，
???????，所以????????????2?，
即????????????2??2????2(???)???2?， 所以有????12(2???)??2，故?????ACB??2
8．试证明：在罗氏几何公理体系中，若两条平行直线被第三条直线所截，则在平行方向一侧截得的两个同侧内角之和小于两直角． 证明：图形如下所示，因为ABC三点构成三角形，
9．在罗氏几何公理体系中，试证明：三角形两边中点的连线小于第三边的一半．
第三讲思考题
1.写出集合X?{a,b}的所有拓扑．
解：有4种不同的拓扑，分别是三个等价类：第一类1个，平庸拓扑?1?{X,?}；第?3?{{a},X,?}，?4?{{b},X,?} 二类1个，离散拓扑?2?{{a},{b},X,?}；第三类2个，
2．讨论n元素集X上可能赋予多少种不同的拓扑？
解：当n?2时，由习题1可得结果为4种不同的拓扑。
当n?3时，设X?{a,b,c}，则在X上可赋予29种不同的拓扑，为9个等价类拓扑．分别为：第一类平庸拓扑1个?1?{X,?}；
第二类离散拓扑1个?2?{{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{c,a},X,?}； 第三类3个拓扑?3?{{a},X,?}等；