第四类6个拓扑?4?{{a},{a,b},X,?}等； 第五类3个拓扑?5?{{a},{b,c},X,?}等； 第六类3个拓扑?6?{{a},{a,b},{a,c},X,?}等； 第七类3个拓扑?7?{{a},{b},{a,b},X,?}等； 第八类6个拓扑?8?{{a},{b},{a,b},{a,c},X,?}等； 第九类3个拓扑?9?{{a,b},X,?}等。
当n?4时，设X?{a,b,c,d}，则在X上可赋予240种不同的拓扑，为16个等价类拓扑．分别为：第一类平庸拓扑1个?1?{X,?}； 第二类离散拓扑1个
?2?{{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},X,?}1第三类4个拓扑?3?{{a},X,?}等；C4?1?4
1第四类12个拓扑?4?{{a},{a,b},X,?}等；C4?3?12
1第五类4个拓扑?5?{{a},{b,c,d},X,?}等；C4?1?4
1第六类12个拓扑?6?{{a},{a,b,c},X,?}等；C4?3?12
2第七类6个拓扑?7?{{a},{b},{a,b},X,?}等；C4?1?6
3第八类4个拓扑?8?{{a},{b},{c},{a,b,c},{a,b},{a,c},{b,c},X,?}等；C4?1?4
12第九类12个拓扑?9?{{a},{b,c},{a,b,c},X,?}等；C4?C3?12
1第十类12个拓扑?10?{{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,d},X,?}等；C4?3?12
2第十一类6个拓扑?11?{{a},{b},{a,b},{a,b,c},{a,b,d},X,?}等；C4?1?6
第十二类4个拓扑?12?{{a},{a,b,c},{a,b,d},{a,b},{a,c,d},{a,c},{a,d},X,?}等；
C4?1?4
2第十三类12个拓扑?13?{{a,b},{a,b,c},X,?}等；C4?2?12 11第十四类24个拓扑?14?{{a},{a,b},{a,b,c},X,?}等；C4?3?2?24
1第十五类12个拓扑?16?{{a},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},X,?}等；C4?3?12
第十六类6个拓扑?17?{{a,b},{a,b,c},{a,b,d},X,?}等；C42?1?6. 3．开区间(???2,2)是否与欧氏空间R同胚．
解:作映射f:(?射，且其逆映射f是同胚的。
?1??2,2)?R，使?x?(???2,2),f(x)?arctanx，则f是连续的满单
也是连续映射，即f是拓扑变换，所以开区间(???2,2)与欧氏空间R
4．设X1,X2都是连通空间X的开子集，X1?X2?X,X1?X2??且连通．证明：X1和
X2都是连通的．
补充定理：设Y是拓扑空间X的一个子集，A,B?Y。则A和B是子空间Y中的一个分离当且仅当它们是拓扑空间X中的一个分离。
证明：假设X1是不连通的，则有开集U1,V1，使得X1?U1?V1，
U1??,V1??,U1?V1??，即U1,V1是X1的一个分离，则由补充定理有U1,V1也是X的
一个分离，所以X也是不连通的，这与已知X是连通的矛盾，故假设不成立，所以X1是连通的；同理有X2也是连通的。
5．能否用17个三角形面围成一个凸多面体？为什么？
解：假设可以围成一个凸多面体，设每个顶点处相交的棱数为r(r?3)，面数为f?17，顶点数v?即r?体。
6．检验下列各图，判断它们能否一笔画：
102213?17r?51r，棱数e??3?172?512则有欧拉公式有2?v?e?f?51r?512?17，
?4.9，即r?Z，所以假设不成立，即用17个三角形面不能围成一个凸多面
解：其中能一笔画的图形有：（a）、（d）、（e）、（f）、（g）；
不能一笔画的图形有：（b）、（c）。
7．设5个选手进行乒乓球比赛，每人至少打3盘，证明：5人中一定有人不止打3盘。如果选手有6个，结论如何？
解：因为每打一盘要两名选手，所以每两名选手比赛一盘就用一条线段来表示，设5个选手分别为：A，B，C，D，E，则它们之间的比赛情况可用下图一来表示，从图中可看出A，B，C， E四名选手刚好一人打3盘，但是 D选手此时只有打两盘，若D选手也要至少打3盘，则D就得和A，B，C， E四名选手中的一个选手在打一盘，这样A，B，C， E四名选手中就一定有一人不止打3盘。
如果选手有6个则可以刚好每人打3盘，其具体比赛情况可由图二来表示。
8．覆盖在球体表面的一张地图中，如果去掉两个指数都为3的顶点及这两个项点之间的一条边界，那么图中顶点数v，区域数f，和边界数e各有什么变化？v?e?f有什么变化？
解：若去掉如图1所示的图形中A、B两个顶点，那么图中顶点数v?2，区域数f?2和边界数e?5。v?e?f的增加1。
若去掉如图2或图3所示的图形中A、B两个顶点，那么图中顶点数v?2，区域数f?3和边界数e?5。v?e?f的值不变。
9．设一张岛屿地图中有v个项点、f个国家和e条边界，那么v?e?f的值是多少？ 解：因为我们把国家和海洋都看作区域，并且将地图画在一个球面上，所以由v?e?f这个数与图形的选择无关可得它的值即v?e?f?2
10．从两个同心圆周中的一个到另一个作几条“隔档”，问这样的地图最少着几种颜色（外面的区域不着色），
解：若地图为图1所示则由定理3可知要着三种颜色。
若地图为图2所示则由定理1可知要着二种颜色。
若地图为图3所示则由定理4可知可以用三种或更少的颜色来着色。
11一个正八面体（见图3-14(c)）有8个三角形的面，每个顶点处都有4个面相交，给每个面染色使任何两个相邻面都有不同颜色，问最少需要几种颜色?
解：已知正八面体每个顶点处都有4个面相交，所以每个顶点的指数都为4，即为偶数而正八面体与球面同胚，且顶点的指数是拓扑不不变的，所以对应于球面上的每个顶点的指数也是偶数4，由定理2可知在球面上的网络图只要着两色即可，故正八面体也只要着两色即可。
第四讲思考题
1.设G为群，对任意的a?G，成立a?e，此处e为单位元，证明G为交换群． 解：?a,b?G，由已知有：(ab)(ab)?(ab)?e，(ab)(ba)?aba?aea?a?e， 所以有(ab)(ab)?(ab)(ba)，由群的消去律得ab?ba，故G为交换群。 2.设Z为整数集，在集合S?Z?Z上定义
2222?a,b???c,d???a?b,c?d?,?a,b???c,d???ac?bd,ad?bc?
证明：S在这两个运算下成为一个有单位元素的环．
证明：首先（S，+）是一个加法交换群。因为1）运算时结合的：
即[(a,b)?(c,d)]?(e,f)?(a?c?e,b?d?f)?(a,b)?[(c,d)?(e,f)]。
2）运算有单位元(0,0)：即(a,b)?(0,0)?(0,0)?(a,b)?(a,b)。 3）运算有逆元：(a,b)?(?a,?b)?(a?a,b?b)?(0,0)。
且(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d)?(c,d)?(a,b)，所以(S,?)是一个交换群。 其次，乘法有结合律：
再次，乘法对加法满足分配律：
(a,b)?[(c,d)?(e,f)]?(ac?ae?bd?bf,ad?af?bc?be)； [(c,d)?(e,f)]?(a,b)?(ca?ea?db?fb,da?fa?cb?eb)。
所以(S,?,?)是一个环，又因为有单位元(1,0)：即(a,b)?(1,0)?(1,0)?(a,b)?(a,b)。 故综上结论得证。
3.设p为素教，证朋：模p剩余类环Zp是具有p个元素的域．
证明：因为p为素教所以由模p剩余类环Zp的定义可知Zp中至少有两个元素，Zp有单位元[1]，即?[x]?Zp有：[1]?[x]?[x]?[1]?[x]，且?[x],[y]?Zp有：
[x]?[y]?[xy]?[yx]?[y]?[x]，所以模p剩余类环Zp是具有p个元素的域．
4.证明：所有的绝对值1的复数在乘法下构成一个群．
证明：1）运算时结合的：设复数a,b,c，有(ab)c?abc?a(bc)?1。 2）运算有单位元1：设复数a，有a1?a1?a?a1。 3）运算有逆元：设复数a，有aa?1?aa?1?1?a?1a。 所以结论成立。
5.证明：任一2阶群与乘法群｛1，-1｝同构．
证明：设2阶群G?{a,b}，其二元运算为“?”，由群的定义有：a?b?a或a?b?b，不妨令a?b?b即a是单位元，定义f:G?{1,?1}为：f(a)?1,f(b)??1，则f是双射且有f(a?b)?f(b)??1?1?(?1)?f(a)?f(b)，即f(a?b)?f(a)?f(b)，所以由同构的定义可知结论成立。 6.解三次方程x?2x?1?0.
q23解：因为p?2,q??1，所以
4?p327?(?1)42?2327p?59108，
由u??3q2?q24?p327?12?591083，?uv??3327，?v??p3u??23u，故有