得F??(?)?0．
例10 设f(x)在[0,2]上具有二阶导数，且f(0)?f()，f(2)?2明：在开区间(0,2)上至少存在一点?，使f??(?)?0．
证明 f(x)在[0,]上满足罗尔定理条件．于是存在?1?(0,)，使得f?(?1)?0．根 据f(2)?212?3/21f(x)dx，证
1212?3/213其中??(1,)，根据罗尔定理，存在?2?(1,2)f(x)dx得到，f(2)?f(?)，
2有f?(?2)?0，从而得到f?(x)在[?1,?2]上满足罗尔定理条件，在开区间(0,2)上至少存在一点?，使f??(?)?0．
例11 设f(x)在[0,1]二阶可导，且f(1)?f(0)，求证：存在??(0,1)满足
f??(?)?2f?(?)． 1??分析 解方程
f??(x)2?，即lnf?(x)??ln(1?x)2?C，于是辅助函数为 f?(x)1?xF(x)?(1?x)2f?(x)．
2证明 令F(x)?(1?x)f?(x)，显然F(1)?0．另外，由于f(x)在[0,1]二阶可导， 且
f(1)?f(0)，于是f(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件，从而存在??(0,1)，使得f?(?)?0．当然F(?)?0，所以F(x)在[?,1]上满足罗尔定理条件，存在
??(?,1?)(0，使得,1F?(?)?0．由于
F?(x)?2(1?x)f?(x)?(1?x)2f??(x)
所以
F?(?)?2(1??)f?(?)?(1??)2f??(?)?0
整理得到
f??(?)?2f?(?)． 1??例12 设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)?0,?10f(x)dx?0，证明：存在??(0,1)满足
11
?分析 解方程
?0f(x)dx??f(?)．
f(x)?x0f(t)dt?x1，即ln?f(t)dt?lnx?C，所以辅助函数为
0x?F(x)? 例13和例14对数三考生不做要求：
x0f(t)dtx．
例13 若f(x)在[0,1]上有三阶导数，且f(0)?f(1)?0，设F(x)?f(x)x3，证明： 在(0,1)内至少存在一个?使得F???(?)?0.
证明 由于F(x)具有三阶导数，于是
11F(x)?F(0)?F?(0)x?F??(0)x2?F???(?)x3
23!由于
F?(x)?3x2f(x)?x3f?(x)，F??(x)?6xf(x)?6x2f?(x)?x3f??(x)
所以 F(0)?F?(0)?F??(0)?0，故
F(x)?因为F(1)?f(1)?0，所以0?1F???(?)x3， 3!1F???(?)，即存在一个?使得F???(?)?0. 3!例14 设f(x)在区间[?1,1]上具有三阶连续导数，且f(?1)?0，f(1)?1，f?(0)?0 求证：在(?1,1)上至少存在一点?，使f???(?)?3
证明：由于
f(?1)?f(0)?f?(0)?且
f(?1)31f??(0)?x,?1?[?1,0] 2!3!f(?2)31f??(0)?x,?2?[0,1] 23!f(1)?f(0)?f?(0)?所以有f???(?1)?f???(?2)?6．由于函数f(x)在区间[?1,1]上具有三阶连续导数，所以函数
f???(x)在区间[?1,?2]上有最大值和最小值分别为M,m，故有
1m?[f???(?1)?f???(?2)]?M，
2根据介值定理，在开区间(?1,1)上至少存在一点?，使f???(?)?3
12
题型5 存在两点满足某个等式的证明.
例1 设f(x)在[a,b]（a?0）上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)?1，证明： 存在?和??(a,b)满足 ()??n?1?f(?)??nf?(?)，其中n?1．
分析 整理 n?n?1?n?n?1f(?)??nf?(?)，即(?n)??[?nf(?)]?，所以只要对函数
F(x)?xnf(x)和G(x)?xn分别应用拉格朗日中值定理．
证明 令F(x)?xnf(x)，G(x)?xn，由于f(x)在[a,b]（a?0）上连续，在(a,b) 内可导，所以F(x)和g(x)在区间[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，于是存在?,??
(a,b)，使得
F(b)?F(a)?(b?a)F?(?)，G(b)?G(a)?(b?a)G?(?)．
即
bn?an?(b?a)[?nf?(?)?n?n?1f(?)]，bn?an?(b?a)n?n?1 于是有
()n?1?f(?)????nf?(?)．
例2 设f(x)在[a,b]（a?0）上连续，在(a,b)内可导， 且f?(x)?0，证明存在?
f?(?)eb?ea??和??(a,b)满足?e．
f?(?)b?a证明 对函数f(x)在[a,b]上应用拉格朗日定理，得到
f(b)?f(a)?(b?a)f?(?)，??(a,b)．
x对函数f(x)和g(x)?e在[a,b]上应用柯西中值定理，得到
f(b)?f(a)f?(?)??，??(a,b)， bae?ee上面两式相除，整理得到
f?(?)eb?ea???e． f?(?)b?a例3 设f(x)在[a,b]（a?0）上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)?1，证明：
13
存在?和??(a,b)，满足e???[f(?)?f?(?)]?1．
证明 对函数F(x)?exf(x)和G(x)?ex在[a,b]上分别应用拉格朗日中值定理，得到
F(b)?F(a)?(b?a)F?(?)，G(b)?G(a)?(b?a)G?(?)．?,??(a,b)
即
ea?eb?(b?a)e?[f?(?)?f(?)]，ea?eb?(b?a)e?． 于是有
e?[f?(?)?f(?)]?e?．
即
e???[f(?)?f?(?)]?1．
例4 设f(x)在[a,b]（a?0）上连续，在(a,b)内可导， 且f(a)?f(b)，求证： 存在?，??(a,b)，使得f?(?)?a?bf?(?)． 2?证明 对函数f(x)在[a,b]上应用拉格朗日定理；对f(x)和g(x)?x2在[a,b]上应用 柯西中值定理，有
f(b)?f(a)?(b?a)f?(?)，??(a,b)；
f(b)?f(a)f?(?)?，??(a,b)． 22b?a2?将上面两式相除，整理得到
f?(?)?a?bf?(?)． 2?1．试证方程x?asinx?b，其中a,b?0至少有一个正根并且不超过a?b． （提示：只需证明函数F(x)?x?asinx?b在(0,a?b]至少有一个根） 2．试证方程e?ex?x?2cosx?5恰有两个实根．
x?x（提示：函数f(x)?e?e?2cosx?5是偶函数，关于y轴对称）
3．设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)?1，证明：方程2x?只有一个实根．（提示：令F(x)?2x??x0f(t)dt?1在(0,1)内有且
?x0f(t)dt?1，证明单调，满足零点定理条件）
14
4．设0?a?b，f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，证明：在(a,b)内至少存在一 点?，使得 bf(b)?af(a)?[?f(?)??f?(?)]ln2b． a（提示：对两个函数xf(x)和lnx在[a,b]上应用柯西中值定理）
5．设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)可导，且f(1)?0，证明：在???(0,1)，使得
f(?)??1??f?(?)?0．
（提示：引入辅助函数F(x)?xexf(x)，在[0,1]上满足罗尔定理条件） 6．设f(x)在[0,1]上可导，且（1）???(0,1)，使得
?10f(x)dx?0，证明：
??0f(x)dx???f(?)．
（2）在(0,1)上存在?，使得2f(?)??f?(?)?0．
（提示：引入辅助函数F(x)?x?x0f(t)dt，在[0,1]上满足罗尔定理条件，且F?(x)在
[0,1]上也满足罗尔定理条件）
12x?ln(1?x)?x． 212 （提示：利用函数的单调性分别证明x?x?ln(1?x)和ln(1?x)?x）
26．证明：对?x?0，有 x?7．设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，且f(a)?f(b)，证明：对任意的常数k，都存在???(a,b)，使得f?(?)?kf(?)?0．
（提示：引入辅助函数F(x)?f(x)e，验证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件） 8．证明不等式： （1）sinx?kx2?x，(0?x??2)；（仿照例题）
（2）
?sinxxsinx?，(0?x?y?)；（变形，证明函数f(x)?单调）
2xysinyx3?sinx?x，(0?x)；（3）x?（利用函数的单调性） 6（4）
sinx2?sinx1sinx2?sinx3?，(0?x1?x2?x3??)；（利用拉格朗日定理）
x2?x1x2?x315