??0f(x)dx???f(x)dx．
01（提示：将?改为x，引入变限积分函数F(x)??x0f(t)dt?x?f(t)dt）
012．设f(x)在区间[0,1]上连续，且单调减少，f(x)?0，证明：对满足0?????1 的任何?,?，有???0f(x)dx???f(x)dx．
??（提示：将?改为x，引入变限积分函数F(x)?x3．设f?(x)在区间[a,b]上连续，证明：
??0f(t)dt???f(t)dt）
?xbb1maxf(x)?f(x)dx??f?(x)dx．
aa?x?bb?a?ab1f(x)dx和maxf(x)转化为特定值，利用牛顿（提示：用特定值转化法，把?aa?x?bb?a莱布尼兹公式）
4．设f(x)在区间[a,b]上连续，且单调递增，证明：
a?bb?atf(t)dt?2?af(t)dt．
b（提示：将b改为x，引入变限积分函数F(x)??tf(t)dt?axa?xxf(t)dt） ?a25．设f(x)在区间[a,b]上有二阶导数，且f??(x)?0，证明：
f(b)?f(a)2b?f(x)dx．
2b?a?af(x)?f(a)2x?f(t)dt） （提示：将b改为x，引入变限积分函数F(x)?2x?a?a6．设f(x)在区间[a,b]上具有连续导数，且f(a)?0，求证：
b?a(b?a)2f(x)dx?22?ba[f?(x)]2dx．
（提示：对f(x)在[a,x]拉格朗日定理，得到f(x)?等式）
7．设f(x)在[0,1]上连续，证明：???(0,1)，使得
2???0xaf?(x)dx，再利用柯西不
?2?f(t)dt?(1??)f(?)．又若
f(x)?0，且单调减少，则这样的?是唯一的．
（提示：引入辅助函数F(x)?(1?x)?x0 f(t)dt，验证其在[0,1]上满足罗尔定理条件）
21
8．设f(x)是连续函数，证明：(提示：利用分部积分)
?x0f(t)(x?t)dt??[?f(u)dy]dt．
00xt9．设f(x)有连续导数，且f(0)?0，0?f?(x)?1，证明：
??10f(x)dx?2??f3(x)dx．
01 （提示：引入辅助函数F(x)???x0f(t)dt???2x0f3(t)dt）
10．设f(x)在[a,b]上具有连续的导数，且f(a)?0，证明：
b?a(b?a)2f(x)dx?22?[f?(x)]dx．
ab2（提示：应用牛顿莱布尼兹公式，得到f(x)??xaf?(t)dt，于是有
bf(x)?2??xaf?(t)dt?2??12dt?[f?(t)]2dt?(x?a)?[f?(t)]2dt）
aaaxx1. 设f(x)在[a,b]上连续，且a?f(x)?b，证明在(a,b)内至少有一点?，使f(?)??。 证明：曲线x?y?a与xy?b（a,b为常数）在交点处切线相互垂直。 2. 方程x?3x?1?0在区间(??,??)内 。
（A） 无实根； （B）有唯一实根； （C）有两个实根； （D）有三个实根。
ba3. 证明不等式，设b?a?e，证明a?b。
3224. 当0?x??2时，有不等式tgx?2sinx?3x。
5. 设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，
且f(a)?f(b)?0。证明：至少存在一点c?(a,b)，使 f?(c)?f(c)?g?(c)?0 7. 设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，0?a?b，
试证：存在 ?,??(a,b)，使得 f?(?)?a?bf?(?)。 2?8. 设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0,F(x)=
?xaf(t)dt??xbdt(x?[a,b])， f(t) 22
证明：.F?(x)?2. (2).方程F(x)?0在区间（a,b)内有且只有一个根。 9. 证明：方程 lnx=
?x???1?cos2xdx,在区间（0，+?）内有且仅有两个不同的根。 e0?m?m10. 证明：
?20sinxcosxdx?2m?20cosmxdx
11. 设f(x)在a,b]上二阶连续可导，f??(x)?0，求证：12. 设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，
求证： 存在??(a,b)使得 f(?)?baf(x)dx?(b?a)f(a?b) 2??ag(x)dx?g(?)?f(x)dx
?b13. f(x)在[0,3]上可导,且f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1,证明???(0,3,)使
f'(?)?0 [(1)f(x0)?1,x0?[0,2];(2)???(x0,3),f'(?)?0]
14. f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导, 且f(a)?f(b)?0,
证明:?k在(a,b)内至少存在一点?，使得f'(?)?kf(?).
[F(x)?e?kxf(x),罗尔定理]
15. f(x)可导,??R, 则f(x)任意两个零点之间, 必有 ?f(x)?f'(x)?0的零点 [F(x)?e16. 设f(x)在上二阶可导,f(0)?f(1)?0,
证明:???(0,1),使得: f\?)?1x?1?xf(x),令f(a)?f(b)?0,罗尔定理]
1f'(?)
(??1)2 [F(x)?ef'(x),f(x0)?0?F(1?)?F(x0)?0]
17. f(x),g(x):[a,b]上连续,证明:???(a,b),使:f(?) [F(x)???g(x)dx?g(?)?b?af(x)dx.
?xaf(t)dt?g(t)dt, 罗尔定理]
xb218. F(x)?(x?1)f(x),f(x):[1,2]上二阶可导,f(2)?0,证:????1,2?,?F\????0
[F(1)?F(2)?0,F'(?1)?0;F'(x)?2(x?1)f(x)?(x?1)f'(x),F'(1)?0罗尔定理] 19. 设函数f(x)在[a,b]上具有二阶导数, 且f(a)?f(b)?0,f'(a)f'(b)?0, 证明:
2ab,, )使得: f(?)?0和f\?)?0 ??,??(
23
[?x1,x2?(a,b)使得f(x1)?0,f(x2)?0?f(?)?0?f\?)?0] 20. 设函数f(x)在[0,?]上可导,证明:???(0,),使得:cos?[f()?f(0)]?f'(?)
222??f()?f(0)f'(?)2 [] ??cos?sin?sin02f(x)?2,f(1)?1,f(2)?6, 21. 设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内三阶可导,且limx?0?x证明: 存在??(0,2), 使得f\?)?9.
[?(x)?f(x)?(ax3?bx2?cx?d),?(0)??(1)??(2)?0,?'(0)?0 ?a??335,? , ?(x)?f(x)?(x3?x2?2x)??'''(?)?f'''(?)?9?0] 22222. 设f(0)?0,f\x)?0, 证明: f(a?b)?f(a)?f(b),(a,b?0) [中值或不等式] [(1)f(a?b)?f(b)?f'(?1)a?f(a)?f(0)?f'(?2)a;
(2)F(x)?f(a?x)?f(a)?f(x),F'(x)?f'(a?x)?f'(x)?0,F(b)?F(a)?0] 23. f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内有二阶导数,f(0)?f(1)?0,且曲线y?f(x)与直线 y?x在(0,1)内有交点x?a, 证明在(0,1)内至少有一点?, 使f\?)?0
[g?f?x,g(0)?g(a)?0,g(1)??1?g'(?1)?0,g'(?2)?0?g''(?)?f''(?)?0] 25. 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,0?a?b??2, 证明??1,?2?(a,b), 使:
f'(?2)tansin?2f'(?2)f(b)?f(a)f'(?1)a?bf(b)?f(a) ， [] ?f'(?1)?,?2cos?1cosb?cosa?sin?2sinb?sinacos?1x???26. f(x)在[0,??)上连续, limf(x)?A?0, 证明: limn??0?1f(nx)dx?A.
? [?limn??n0f(t)dtn??limx???x0f(t)dtx?limf(x)?A]
x???27. f?x?在[0,??)上连续, 且
?10f?x?1f?x?dx??,lim?0, 证明: ????0,???, 使:
x???2x.
f??????0 24
[F?x??f?x??x,(1)
?F?x?dx?0??x?[0,1],?F(x)?0,
0111F?x??1??x2?1,?F(x2)?0,????(0,??),?F(?)?0] (2)limx???x28. y?f(x)在[0,1]上非负连续,(1)证明:?x0?(0,1),使在[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面 积等于在[x0,1]上以y?f(x)为曲边的梯形面积 (2)又若f(x)在(0,1)内可导,且f'(x)?? [(1)?(x)?xf(x)?2f(x), 则证明(1)中的x0是唯一的 x?1xf(t)dt,?(0)?0,?(1)?0, (2)?'(x)?2f(x)?xf'(x)?0]
?(x?sinx)f(x),x?0?29. 奇函数f(x)在x?0处可导, 问:F(x)?? 在x?0处是否连续? x?0x?0? 可导? [f(0)?0,F'(0)?lim(x?sinx)f(x)?2f'(0)] 2x?0x1?2?xcos,x?030. 设?(x)??且f(x)在x?0处可导,令F(x)?f[?(x)],求F'(0) x?0x?0? [?(0)?0,?'(0)?0,F'(0)?f'[?(0)]?'(0)?f'(0)?0?0]
1?xarctan,x?0?xf(x)?31. 考察函数在x?0处的连续性,可导性,以及f'(x)的连续性. ??0x?0? [f'(0)?limarctanx?0x1?1??,f'(x)?arctan?(x?0),limf'(x)??f'(0)] 2x?0x2x1?x2x?0x?0?1x?2?0tf(t)dtf(x)f(0)?032. 若有连续的导数,且,设F(x)??x??c F(x)连续,并问此时F'(x)是否连续?
,确定常数c,使
[limF(0)?0?c,F'(0)?x?0f'(0),F'(x)?3x2f(x)?2?tf(t)dt0xx3x0x0,limF'(x)?x?0f'(0)] 3?33. 设f(x)在(??,??)内连续,且f(x)?0, 求证:?(x)??
25
tf(t)dtf(t)dt当x?0时单调增加.