概率论与数理统计及其应用习题解答
1?,?0.5?x?1当y?0.5时，fX|Y(x|y)??1?0.5。
??0,其他
20，设随机变量（X，Y）在由曲线y?x2,y?x所围成的区域G均匀分布。
（1） 写出（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度fX(x),fY(y)；
（3）
求条件概率密度fY|X(y|x)，并写出当x?0.5时的条件概率密度。
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度f(x,y)必定是一常数，故由
1x1???f(x,y)dxdy??dx?f(x,y)dy?13f(x,y)，得到f(x,y)??3,(x,y)?G?G0x20，。?其他???x（2）fx)??f(x,y)dy????3dy?3(x?x2)，0?x?1X(2；
x????0,其他?y??3dx，0?y?1???y2?3(y?y2)，0f(y)??f(x,y)dx??Y????y?1?。 ???0，其他???0，其他??f(x,y)?12（3）当0?x?1时，fY|X(y|x)??2,x?y?xf)??x?x。
X(x??0,其他特别地，当x?0.5时的条件概率密度为
?4f(y|0.5)???22?1,1/4?y?2/2Y|X。
??0,其他
21，设(X,Y)是二维随机变量，X的概率密度为
?f(x)??2?x?6，0?x?2X
??0,其他
21
概率论与数理统计及其应用习题解答
且当X?x(0?x?2)时Y的条件概率密度为
fY|X?1?xy?,(y|x)??1?x/2??0,0?y?1其他，
（1） （2）
求(X,Y)联合概率密度；
求(X,Y)关于Y的边缘概率密度；
求在Y?y的条件下X的条件概率密度fX|Y(x|y)。
（3）
解：（1）f(x,y)?fX(x)fY|X?1?xy?(y|x)??3??00?x?2,0?y?1其他；
?21?xy2dx?(1?y)??（2）fY(y)?3?f(x,y)dx??03???0???0?y?1其他；
（3）当0?y?1时，fX|Y(x|y)?f(x,y)?1?xy,???2(1?y)fY(y)?0,?0?x?2其他。
22，（1）设一离散型随机变量的分布律为
Y -1 0 1 pk ?2 1?? ?2 又设Y1,Y2是两个相互独立的随机变量，且Y1,Y2都与Y有相同的分布律。求Y1,Y2的联合分布律。并求
P{Y1?Y2}。
（2）问在14题中X,Y是否相互独立？
解：（1）由相互独立性，可得Y1,Y2的联合分布律为
P{Y1?i,Y2?j}?P{Y1?i}P{Y2?j}，i,j??1,0,1
结果写成表格为
22
概率论与数理统计及其应用习题解答
Y1 Y2 -1 -1 0 1 2?/4
?/4 2?(1??)/2 2(1??) 0 1 ?(1??)/2 ?/4 2?(1??)/2 2?/4 ?(1??)/2 P{Y1?Y2}?P{Y1?Y2??1}?P{Y1?Y2?0}?P{Y1?Y2?1}?(1??)??22/2。
（2）14题中，求出边缘分布律为
X Y 0 1 2 P{X?i} 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 2 0.02 0.06 0.30 0.38 P{Y?j} 0.16 0.34 0.50 1 很显然，P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}，所以X,Y不是相互独立。
23，设X,Y是两个相互独立的随机变量，X~U(0,1)，Y的概率密度为
f)??8y0?y?1/2Y(y??0其他
试写出X,Y的联合概率密度，并求P{X?Y}。 解：根据题意，X的概率密度为
fx)??10?x?1X(?
?0其他所以根据独立定，X,Y的联合概率密度为
f(x,y)?f?8y0?x?1,0?y?1/2X(x)fY(y)??
?0其他。1/21P{X?Y}???f(x,y)dxdy??dx?8ydx?23
x?y0y
24，设随机变量X具有分布律
X -2 -1 0 1 3 23
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pk
1/5 1/6 1/5 1/15 11/30
求Y?X2?1的分布律。
解：根据定义立刻得到分布律为
Y 1 2 5 10 pk 1/5 7/30 1/5 11/30
25，设随机变量X~N(0,1)，求U?X的概率密度。
解：设X,U的概率密度分别为fX(x),fU(u)，U的分布函数为FU(u)。则 当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?0，fU(u)?0；
当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?P{?u?X?u}?2?(u)?1，2 f2U(u)??FU(u)?'?2fX(u)?2?e?u/。
?2?u所以，f(u)??e2/2u?0U?。
???0u?0
26，（1）设随机变量X的概率密度为
x)???e?xf(x?0?0其他
求Y?X的概率密度。
（2）设随机变量X~U(?1,1)，求Y?(X?1)/2的概率密度。 （3）设随机变量X~N(0,1)，求Y?X2的概率密度。
解：设X,Y的概率密度分别为fX(x),fY(y)，分布函数分别为FX(x),FY(y)。则 （1）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?0，fY(y)?0；
当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{X?y2}?F2X(y)，
fY(y)??FY(y)?'?2yfy2)?2ye?y2X(。
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概率论与数理统计及其应用习题解答
?y??2ye所以，fY(y)????02y?0y?0。
（2）此时fX(x)???1/2?0?1?x?1其他。
因为FY(y)?P{Y?y}?P{(X?1)/2?y}?P{X?2y?1}?FX(2y?1)， 故， fY(y)??FY(y)??2fX(2y?1)?1,'?1?2y?1?1，
所以，fY(y)???1?00?y?1其他。
（3）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}
??(y)??(?故， fY(y)??FY(y)??2fX('y)?2?(y)?1，
12?ye?y/2y)12y?。
??所以，fY(y)????
12?y0e?y/2y?0其他。
27，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为
?(3x?1)/80?x?2f(x)??0其他?求圆面积A的概率密度。 解：圆面积A??X2
，设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则
G(y)?P{?X2?y}?P{X?12?yy/?}?FX(y/?)， 故
12?y?3y?8?g(y)??G(y)??'f(y/?)???3y?16?y?,0?y/??2
?3y???所以，g(y)??16?y??0
0?y?4?其他。
28，设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(0,?
2)，验证Z?X2?Y2的概率密度为
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