概率论与数理统计及其应用习题解答
??（2）当k?1时，E(X)????xdx??1???，即E(X)不存在。
??（3），当k?2时，E(X22)??x??22f(x)dx???xk?kk?1dx?k?2k?2，
所以，D(X)?（4）当k
E(X)??E(X)???2?1?kk??k????2?2k?2(k?1)(k?1)(k?2)??2??22。
?2时，E(X)?2?x??f(x)dx???2?xdx???，所以D(X)不存在。
21，解：（1）根据14题中结果，得到
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?3/14?1/2?3/4??9/56；
， ，
因为E(X22)??kk?02P{X?k}?4/7，
2E(Y)?2?kk?02P{Y?k}?27/28所以D(X)?
?XY?E(X)??E(X)??9/2822，D(Y)?E(Y)??E(Y)??45/11222Cov(X,Y)D(X)D(Y)??55。
（2）根据16题结果可得：
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?2/15??2/5???2/752；
11?y因为
E(X)?2??R?Rxf(x,y)dxdy?12?dy01?y?24xydx?1/5，
303E(Y)?2??R?R2yf(x,y)dxdy?2?dy?24y00xdx?1/5，
所以，D(X)?E(X)??E(X)??1/252，D(Y)?E(Y)??E(Y)??1/2522
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?2/75，
?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??23。
（3）在第2章14题中，由以下结果
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概率论与数理统计及其应用习题解答
X 0 1 2 Y 0 0.10 0.04 0.02 0.16 1 0.08 0.20 0.06 0.34 2 0.06 0.14 0.30 0.50 P{X?k} 0.24 0.38 0.38 1 P{Y?k} 得到，E(X)?1.14，E(Y)?1.34，E(XY)?1.8，E(X2)?1.9，E(Y2)?2.34， 所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.2724；
D(X)?E(X)??E(X)??0.600422，D(Y)?.
E(Y)??E(Y)??0.544422,
?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0.27240.5717?0.476522，解：根据题意有
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)
?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y)?9?4?2?(?1/6)?6?11。
D(X?3Y?4)?D(X?4)?D(3Y)?2Cov(X?4,3Y)
?D(X)?9D(Y)?6Cov(X,Y)?9?36?6?(?1/6)?6?51。
23，解：（1）因为X1,X2,X3相互独立，所以
EX1(X2?4X3)?22??E(X221)E[(X2?4X3)]?E[X2?8X2X3?16X3]
222222 ?E[X2?8X2X3?16X3]?E[X2]?8E[X2]E[X3]?16E[X3]
?1?0?16?17。
E(Xi)?D(Xi)??E(Xi)??1/3，i?1,2,3。
222（2）根据题意，可得E(Xi)?1/2,E(X1?2X2?X3)2?2??E[X221?4X2?X3?4X1X2?2X1X3?4X3X2]
22?E[X1]?4E[X2]?E[X3]?4E[X1]E[X2]?2E[X1]E[X3]?4E[X3]E[X2] ?13?43?13?1?12?1?12。
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概率论与数理统计及其应用习题解答
1x24，解：因为
E(X)???xf(x,y)dxdyR?R1??dx?xdy0x?x?2/3，
E(Y)???R?Ryf(x,y)dxdy??dx?ydy01?xx?0，
E(XY)???xyfR?R(x,y)dxdy??dx?xydy0?x?0，
所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0， 即，验证了X,Y不相关。 又因为，
?x?1dy?2x，0?x?1； fX(x)??f(x,y)dy????x???0,其他????1??1dx，?1?y?0??y??1??fY(y)??f(x,y)dx???1dx，0?y?1???y?0，其他????1?y，0?y?0.5???1?y，0.5?y?1?0，其他?，
显然，f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以验证了
X,Y不是相互独立的。
25，解：引入随机变量定义如下
?1Xi???0第i个球落入第i个盒子第i个球未落入第i个盒子1n
~N(n,1n)则总的配对数X故所以，E(X)?
n??i?1Xi，而且因为P{Xi?1}?，所以，X。
n?1n?1。
第4章
正态分布
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概率论与数理统计及其应用习题解答
1，（1）设Z（2）设Z求P{Z?1.24}， ~N(0,1)，P{1.24?Z?2.37}，P{?2.37?Z??1.24}；
~N(0,1)，且P{Z?a}?0.9147?1.24}??(1.24)?0.8925，P{Z?b}?0.0526，求a,b。
解：（1）P{Z，
P{1.24?Z?2.37}?P{Z?2.37}?P{Z?1.24}??(2.37)??(1.24)?0.9911?0.8925?0.0986P{?2.37?Z??1.24}??(?1.24)??(?2.37)?[1??(1.24)]?[1??(2.37)]?0.0986
（2）P{Z?a}?0.9147??(1.37)，所以a?1.37；
。
所以P{Z?b}?0.9474??(1.62)，即b?1.62P{Z?b}?0.0526?1?P{Z?b}， 2，设X~N(3,16)，求P{4?X?8}，P{0?X?5}。 ~N(3,16)，所以4?345?34?X?344?X?348?34~N(0,1)。
解：因为XP{4?X?8}?P{P{0?X?5}??(}??(1.25)??(0.25)?0.8944?0.5987?0.2957)??(0?3)?0.6915?(1?0.7734)?0.4649。
3，（1）设X（2）设X~N(25,36)，试确定C，使得P{X?25?C}?0.9544。
~N(3,4)，试确定C，使得P{X?C}?0.95C6。
C6)?2?(C6)?1
解：（1）因为P{X所以得到?(（2）因为
?(C?32C6X?32?25?C}?P{?C?X?25?C}??()??(?)?0.9772,即
C6?2.0，C?12.0。
C?32)?0.95~N(0,1)，所以P{X?C}?1??(3?C2)?0.95，即
。
)?0.05,或者?(，从而
3?C2?1.645，C??0.294，已知美国新生儿的体重（以g计）X（1） 求P{2587.75
~N(3315,575)。
2?X?4390.25}；
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概率论与数理统计及其应用习题解答
（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小
于2719的个数，求P{Y解：根据题意可得（1）P{2587.75 （2）P{XX?3315575?4}。
~N(0,1)。
575)??(2587.75?3315575)?X?4390.25}??(4390.25?3315
??(1.87)??(?1.2648)?0.9693?(1?0.8962)?0.8655（或0.8673）
?2719}??(2719?3315575)?1??(1.04)?0.1492，
根据题意Y~B(25,0.1492)，所以
4P{Y?4}??k?0C25?0.1492kk?0.850825?k?0.6664。
5，设洗衣机的寿命（以年计）X~N(6.4,2.3)，一洗衣机已使用了
5
年，求其寿命至少为8年的条件概率。 解：所要求的概率为
P{X?8}P{X?5}1??(1.06)1?0.85542.3???0.17615?6.41??(?0.92)0.82121??()2.31??(8?6.4)P{X?8|X?5}??6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）
解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量
X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04)
X,Y,则
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