8 －6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为
5?2Φ?8.0?10sin100πt?Wb?，求在t?1.0?10s时，线圈中的感应电动势．
分析 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成ξ??N链．
解 线圈中总的感应电动势
ξ??NdΦdt??2.51?cos?100π?t
dΦdt??dψdt，其中ψ?NΦ称为磁
当t?1.0?10?2s 时，ξ?2.51V．
8 －7 有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以
dIdt的变化率增长．若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所
示．求线圈中的感应电动势．
分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律ξ??通量就需用Φ?与B2 之和）．
为了积分的需要，建立如图所示的坐标系．由于B 仅与x 有关，即B?B(x)，故取一个平行于长直导线的宽为ｄx、长为d 的面元ｄS，如图中阴影部分所示，则dS?ddx，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元dS?dxdy，则上述积分实际上为二重积分）．本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式EM??M解1 穿过面元ｄS 的磁通量为
dldtdΦdt来求解．由于回路处在非均匀磁场中，磁
?B?dS来计算（其中B 为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1
S求解．
dΦ?B?dS?B1?dS?B2?dS?μ0I2π?x?d?ddx?μ0I2πxddx
因此穿过线圈的磁通量为
Φ??dΦ??2dμ0Idd2π?x?d?dx??2dμ0Id2πxddx?μ0Id2πln34
再由法拉第电磁感应定律，有
E??dΦ3?dI?μd ??0ln?dt4?dt?2π解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为
Φ?μ0dI2πln34
线圈与两长直导线间的互感为
M?ΦI?μ0d2πln34
当电流以
dldt变化时，线圈中的互感电动势为
dI3?dI?μd ??0ln?dt?2π4?dtE??M试想：如线圈又以速率v 沿水平向右运动，如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势呢？此时线圈中既有动生电动势，又有感生电动势．设时刻t，线圈左端距右侧直导线的距离为ξ，则穿过回路的磁通量Φ?入E??dΦdt?B?dSS?f?1,ξ?，它表现为变量I和ξ的二元函数，将Φ代
dξdt?v，再令ξ＝d 即可
即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中
求得图示位置处回路中的总电动势．最终结果为两项，其中一项为动生电动势，另一项为感生电动势．
8 －11 长为L的铜棒，以距端点r 处为支点，以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差．
分析 应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压与电源电动势的不同．在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向）．本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可以将整个棒的电动势看作是OA 棒与OB 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．而EO A 和EO B 则可以直接利用第８ －2 节例1 给出的结果．
解1 如图（ａ）所示，在棒上距点O 为l 处取导体元ｄl，则
EAB??AB?v?B??dl??L-r-r?ωlBdl??12ωlB?L?2r?
因此棒两端的电势差为
UAB?EAB??12ωlB?L?2r?
当L ＞2r 时，端点A 处的电势较高
解2 将AB 棒上的电动势看作是OA 棒和OB 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．其中
EOA?12Bωr,EOB?212ωB?L?r?
2则
EAB?EOA?EOB??12ωBL?L?2r?
8 －12 如图所示，长为L 的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕OO′轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B 与转轴平行．求OP 棒在图示位置处的电动势．
分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律E??dΦdt 计算（此时必须构造一个
包含OP导体在内的闭合回路， 如直角三角形导体回路OPQO），也可用E???v?B??dl来
l计算．由于对称性，导体OP 旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的． 解1 由上分析，得
EOP?????v?B??dl
OPo?vBsin90cosαdl
lo???lsinθωBcos90?l2L?θdl
2??ωBsinθ?ldl?012ωB?Lsinθ?
由矢量v?B的方向可知端点P 的电势较高．
解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路OPQO 中的一部分，任一时刻穿 过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势
E??dΦdt?0?EOP?EPQ?EQO
显然，EQO ＝0，所以
EOP??EPQ?EQO?12ωB?PQ?2
由上可知，导体棒OP 旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效．后者是垂直切割的情况．
8 －19 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图（ａ）所示，共有N 匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L．
分析 如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关的量．求自感L 的方法有两种：1．设有电流I 通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通量，再用公式L?ΦI计算L．2．让回路中通以变化率已知的电流，测出回路中的感应电动
ELdI/dtdIdt势EL ，由公式L?计算L．式中EL 和
都较容易通过实验测定，所以此方法一般
适合于工程中．此外，还可通过计算能量的方法求解．
解 用方法1 求解，设有电流I 通过线圈，线圈回路呈长方形，如图（ｂ）所示，由安培环路定理可求得在R1 ＜r ＜R2 范围内的磁场分布为
B?μ0NI2πx
由于线圈由N 匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为
ψ?N?SB?dS?N?R2μ0NI2πxR1hdx?μ0NhI2π2lnR2R1
则
L?ψμ0NhI2π2lnR2R1
若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为μr ，则自感将增大μr倍．