8 －20 如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S1 和S2 ，磁导率分别为μ1 和μ2 ，管长为l，匝数为N，求螺线管的自感．（设管的截面很小）
分析 本题求解时应注意磁介质的存在对磁场的影响．在无介质时，通电螺线管内的磁场是均匀的，磁感强度为B0 ，由于磁介质的存在，在不同磁介质中磁感强度分别为μ1 B0 和μ2 B0 ．通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为S1 和S2 的两部分磁通量之和．由自感的定义可解得结果．
解 设有电流I 通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为
B1?μ1nl?μ1NLI,B2?μ2nl?μ2NLI
通过N 匝回路的磁链为
Ψ?Ψ1?Ψ2?NB1S1?NB2S2
则自感
L?L1?L2?ψI?Nl2μ1S1?μ2S2
8 －23 如图所示，一面积为4.0 cm2 共50 匝的小圆形线圈A，放在半径为20 cm 共100 匝的大圆形线圈B 的正中央，此两线圈同心且同平面．设线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的．求：（1） 两线圈的互感；（2） 当线圈B 中电流的变化率为－50 A·ｓ－1 时，线圈A 中感应电动势的大小和方向．
分析 设回路Ⅰ中通有电流I1 ，穿过回路Ⅱ的磁通量为Φ21 ，则互感M ＝M21 ＝Φ21I1 ；也
可设回路Ⅱ通有电流I2 ，穿过回路Ⅰ的磁通量为Φ12 ，则M?M12?Φ12I2 ．
虽然两种途径所得结果相同，但在很多情况下，不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同．以本题为例，如设线圈B 中有电流I 通过，则在线圈A 中心处的磁感强度很易求得，由于线圈A 很小，其所在处的磁场可视为均匀的，因而穿过线圈A 的磁通量Φ≈BS．反之，如设线圈A 通有电流I，其周围的磁场分布是变化的，且难以计算，因而穿过线圈B 的磁通量也就很难求得，由此可见，计算互感一定要善于选择方便的途径． 解 （1） 设线圈B 有电流I 通过，它在圆心处产生的磁感强度B0?NB的磁链近似为
ψA?NAB0SA?NANBμ0I2RSA
μ0I2R穿过小线圈A
则两线圈的互感为
M?ψAI?4?NANBV
μ0SA2R?6.28?10?6H
（2）EA??MdIdt?3.14?10互感电动势的方向和线圈B 中的电流方向相同．
8 －24 如图所示，两同轴单匝线圈A、C 的半径分别为R 和r，两线圈相距为d．若r很小，可认为线圈A 在线圈C 处所产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈C 的匝数为N 匝，则互感又为多少？
解 设线圈A 中有电流I 通过，它在线圈C 所包围的平面内各点产生的磁 感强度近似为
B?μ0IR2?R?d2223/2?
穿过线圈C 的磁通为
ψ?BSC?μ0IR2?R?d2223/2?πr
2则两线圈的互感为
M?ψI?μ0πrR2?R?d22223/2?
若线圈C 的匝数为N 匝，则互感为上述值的N 倍．
8 －26 一个直径为0.01 m，长为0.10 m 的长直密绕螺线管，共1 000 匝线圈，总电阻为7.76 Ω．求：（1） 如把线圈接到电动势E ＝2.0 V 的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？ 磁能密度是多少？*（2） 从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？
分析 单一载流回路所具有的磁能，通常可用两种方法计算：（1） 如回路自感为L（已知或很容易求得），则该回路通有电流I 时所储存的磁能Wm?12LI，通常称为自感磁能．（2）
2由于载流回路可在空间激发磁场，磁能实际是储存于磁场之中，因而载流回路所具有的能量又可看作磁场能量，即Wm?B2?VwmdV，式中wm为磁场能量密度，积分遍及磁场存在的空
间．由于wm?2μ，因而采用这种方法时应首先求载流回路在空间产生的磁感强度B 的分
布．上述两种方法还为我们提供了计算自感的另一种途径，即运用
NSl212LI2??V wmdV求解L．
解 （1） 密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感L?流I?ER，电流稳定后，线圈中电
，则线圈中所储存的磁能为
12μ0NSE2lR222Wm?LI2??3.28?10?5J
在忽略端部效应时，该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管
中，并为均匀磁场，故磁能密度wm 处处相等，wm?WmSL?4.17J?m?3
（2） 自感为L，电阻为R 的线圈接到电动势为E 的电源上，其电流变化规律
R?t?EE??1?eL?，当电流稳定后，其最大值Im? I???RR??R?t?2EE?1?12?，将其代入I??1?eL?中，得 ??LIm?，则I??2RR?2?2???按题意1
12LI2?2?Lt??ln?1?ln2???R?2?RL?2?1.56?10??4s
8 －13 如图（ａ）所示，金属杆AB 以匀速v?2.0m?s?1平行于一长直导线移动，此导线通有电流I ＝40A．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高？
分析 本题可用两种方法求解．（1） 用公式E???v?B??dl求解，建立图（a）所示的
l坐标系，所取导体元dl?dx，该处的磁感强度B?μ0I2πx．（2） 用法拉第电磁感应定律求
解，需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路．为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动，如图（ｂ）所示．设时刻t，杆AB 距导轨下端CD的距离为y，先用公式Φ?过该回路的磁通量，再代入公式E??势．
解1 根据分析，杆中的感应电动势为
EAB?dΦdt?B?dS求得穿
S，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的电动
?AB?v?B??dl?dxl???1.1mμ02πx0.1mvdx??μ0Iv2πln11??3.84?10?5V式中负号表示
电动势方向由B 指向A，故点A 电势较高．
解2 设顺时针方向为回路ABCD 的正向，根据分析，在距直导线x 处，取宽为ｄx、长为y 的面元ｄS，则穿过面元的磁通量为
dΦ?B?dS?μ0I2πxydx
穿过回路的磁通量为
Φ??SdΦ??1.1mμ0I2πx0.1mydx??μ0Iy2πln11
回路的电动势为
E??dΦdt??μ0I2πxln11dydt??μ0Iy2π??3.84?10?5V
由于静止的形导轨上电动势为零，所以
EAB?E??3.84?10?5V
式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A，故点A 电势较高．
8 －17 半径为R ＝2.0 cm 的无限长直载流密绕螺线管，管内磁场可视为均匀磁场，管外磁场可近似看作零．若通电电流均匀变化，使得磁感强度B 随时间的变化率为正值，试求：（1） 管内外由磁场变化激发的感生电场分布；（2） 如求距螺线管中心轴r ＝5．0 cm处感生电场的大小和方向．
dBdtdBdt为常量，且
?1?0.010T?s，