诸城繁华中学08级数学第一轮复习讲义 第二章《函数》
第三讲 函数的性质（单调性与奇偶性）
【复习目标】
理解函数的单调性和奇偶性的定义，并会利用它们解决相关问题。 【基础知识回顾】： 一、函数的单调性：
1、单调性的定义：设函数f(x)的定义域为A，区间D?A，若对于D内的任意两个自变量的值x1， x2，当x1＜x2时，都有f(x1) ＜f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 函数。当x1＜x2时，都有f(x1) ＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 函数。 2、判断函数单调性的方法：： ①定义法：（一般步骤为： ） ②导数法：（一般步骤为： ） 注意：如果单调区间为两部分，它们之间的连接符号 ③常用结论：
1）若f(x)、g（x）均为增（减）函数，则f(x)+g（x）为 函数；若f(x)为增（减）函数，则- f(x)为 函数。
2）互为反函数的两个函数的单调性 ；奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 ；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 ；
3）y=f?g(x)?是定义在M上的函数，若f(x)与g（x）的单调性相同，则其复合函数y=f?g(x)?为 函数，若f(x)与g（x）的单调性相反，则其复合函数y=f?g(x)?为 函数。 二、函数的奇偶性：
1、奇偶性的定义：设函数f(x)的定义域为D，若对于D内的任意一个x，都有___
注意：判断函数的奇偶性要优先考虑 2、常用结论：
①如果奇函数f(x)在x=0处有定义，则f（0）= ；
②写出一个既是奇函数又是偶函数的函数 ③奇函数的图像关于 对称；偶函数的图像关于 对称
④两个奇（偶）函数之和、差为 函数；两个奇（偶）函数之积、商为 函数； 一个奇函数和一个偶函数之积或商为 函数（以上函数不包括值恒为零的函数）。
【基础知识自测】
x1、（2010山东）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2?2x?b（b为常数），
则f(?1)?（ ）
（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3
12、（2010北京）给定函数①y?x2，②y?log1(x?1)，③y?|x?1|，④y?22x?1，其中在区
间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
1
诸城繁华中学08级数学第一轮复习讲义 第二章《函数》
3、（2010广东理数）若函数f（x）=3+3与g（x）=3-3的定义域均为R，则（ ）
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
x-xx-x
C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 4、（P53A1）判断下列函数是否具有奇偶性： ①f(x)=x?x3 ②f(x)=x?④g(x)=(x-1)(x+1) ⑤k(x)=
1x?123x ③g(x)=x(x+1) ,x???1,2? ⑥h(x)=x?1
35、（P58A9）已知分段函数f(x)是奇函数，当x??0,???时的解析式为y?x2，求这个函数在区间???,0?的解析式。
6、（P50A4）判断函数y=x在区间?0,???上的单调性，并证明你的结论。
【典型例题剖析】
一、函数的奇偶性： 例1、已知函数f(x)?1x?log21?x1?x，判断它的奇偶性。
跟踪练习：（1）（2010江苏卷）设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x?R)是偶函数，则实数a=_______ （2）已知函数f(x)?
2
(x?1)(x?a)x为奇函数，求a的值。
诸城繁华中学08级数学第一轮复习讲义 第二章《函数》
二、求函数的单调区间： 例2、求函数y=x+
变式练习：求函数y=x+
ax1x的单调区间.
（a＞0）的单调区间.
例3、求下列函数的单调区间，并确定在每一个单调区间上的单调性。
2y?log2(6?x?2x) （1）y?x(1?x) （2）f(x)?ax?(a?1)ln(x?1)(a?0) （3）
跟踪练习：函数y?x?x的单调递增区间为（ ）
?1??1??1?2A. ?0,1? B. ???,? C. ?,1? D.?0,?
2???2??2?三、分段函数的单调性: 例4、函数f(x)?
3
?(3a?1)x?4a(x?1)logax(x?1)在R上单调递减，则a的取值范围是多少？
诸城繁华中学08级数学第一轮复习讲义 第二章《函数》
跟踪练习：
?2（2010江苏卷）已知函数f(x)??x?1,x?0,则满足不等式f(1?x2)?f(2x)的x的范围是__ ?1,x?0四、抽象函数的单调性:
例5、已知函数f(x)的定义域是（0，+?），当x>1时，f(x)>0,且f(xy)=f(x)+f(y). ①求f(1) ②证明f(x)在定义域上是增函数 ③如果f()??1，求满足不等式
3f(x)?f(1x?2)?2的x的取值范围。
1
跟踪练习：定义在实数集上的函数f(x),对任意实数x、y，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)?0。 （1）求证：f(0)=1 ； （2）求证：y=f(x)是偶函数。
五、函数性质的综合应用：
例6、函数y=f(x)(x?0)是奇函数，且当x??0,???时是增函数，若f(1)=0,求不等式
1??f?x(x?)??0的解集。
2??
跟踪练习：已知对任意实数x，有f(?x)??fx(,)g(x)?g?(x)，且x>0时，f(x)?0,g(x)?0,''则x<0时（ ）
''''''''A、f(x)?0,g(x)?0B、f(x)?0,g(x)?0C、f(x)?0,g(x)?0 D、f(x)?0,g(x)?0
4
诸城繁华中学08级数学第一轮复习讲义 第二章《函数》
《第三讲 函数的性质（单调性与奇偶性）》 当堂检测
1.如果奇函数f(x)在区间［3，7］上是增函数且最小值是5，那么f(x)在区间［－7，－3］上( )
A.是增函数且最小值为－5 B.是增函数且最大值是－5 C.是减函数且最小值为－5 D.是减函数且最大值是－5
2.若函数f(x)=x+2(a－1)x+2在区间(－∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是 ( )
2
A.a≥－3 B.a≤－3 C.a≤5 D.a≥3
b?f(??3.已知偶函数f (x)在[0,π]上单调递增，a= f (-π)，
大小关系是_________________.
y?1?x1?x的单调减区间是 _____ .
)2，c= f (-2),那么，a、b、c之间的
4. 函数
5. 设函数f(x)是定义在[?1,0)?(0,?1]上的奇函数，当x?[?1,0)时，
f(x)?2ax?1x2(a为实数)
⑴当x?(0,1]时，求f(x)的解析式；
⑵当a??1时，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；
5