第1讲 集合的概念与运算
1．考查集合中元素的互异性． 2．求几个集合的交、并、补集．
3．通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力． 【复习指导】
1．主要掌握集合的含义、集合间的关系、集合的基本运算，立足基础，抓好双基．
2．练习题的难度多数控制在低中档即可，适当增加一些情境新颖的实际应用问题或新定义题目，但数量不宜过多．
基础梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集． 2．集合间的基本关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)．
(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的基本运算
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (3)补集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}． (4)集合的运算性质
①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B； ②A∩A＝A，A∩?＝?； ③A∪A＝A，A∪?＝A；
④A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A.
一个性质
要注意应用A?B、A∩B＝A、A∪B＝B、?UA??UB、A∩(?UB)＝?这五个关系式的等价性． 两种方法
韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 三个防范
(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何 非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解． (2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．
(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于( )． A．{x|3≤x＜4} C．{x|x＞2}
B．{x|x≥3} D．{x|x≥2}
解析 B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，∴结合数轴得：A∪B＝{x|x≥2}． 答案 D
2．(2011·浙江)若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )． A．P?Q B．Q?P C．?RP?Q D．Q??RP 解析 ∵?RP＝{x|x≥1}∴?RP?Q. 答案 C
3．(2011·福建)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )． 2A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.i∈S 解析 ∵i2＝－1，∴－1∈S，故选B. 答案 B
4．(2011·北京)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是
( )．
A．(－∞，－1] C．[－1,1]
B. [1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析 因为P∪M＝P，所以M?P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]． 答案 C
5．(人教A版教材习题改编)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝________.
解析 A∪B＝{1,3，m}∪{3,4}＝{1,2,3,4}， ∴2∈{1,3，m}，∴m＝2. 答案 2
考向一 集合的概念
【例1】?已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． [审题视点] 分m＋2＝3或2m2＋m＝3两种情况讨论． 解析 因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.
当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝13
不合乎题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－2或m＝1(舍去)，此时当m＝
313－2时，m＋2＝2≠3合乎题意．所以m＝－2. 3
答案 －2
集合中元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口；二可以检验
所求结果是否正确．
【训练1】 设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋2}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
解析 若a＋2＝3，a＝1，检验此时A＝{－1,1,3}，B＝{3,5}，A∩B＝{3}，满足题意．若a2＋2＝3，则a＝±1.当a＝－1时，B＝{1,3}此时A∩B＝{1,3}不合题意，故a＝1. 答案 1
考向二 集合的基本运算
【例2】?(2011·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝
??1
?x∈R|x＝4t＋－6，t∈?0，＋∞??，则集合
t??
A∩B＝________.
[审题视点] 先化简集合A，B，再求A∩B. 解析 不等式|x＋3|＋|x－4|≤9等价于
?x≥4，?－3 ??或或? ?x＋3＋x－4≤9?x＋3＋4－x≤9?－x－3＋4－x≤9， 解不等式组得A＝[－4,5]，又由基本不等式得B＝[－2，＋∞)，所以A∩B＝ [－2,5]． 答案 {x|－2≤x≤5} 集合运算时首先是等价转换集合的表示方法或化简集合，然后用数轴 图示法求解． ??x－2? ?，【训练2】 (2011·江西)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝?x?则A∩B≤0 ??x?＝( )． A．{x|－1≤x<0} B．{x|0 C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 解析 ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0 考向三 集合间的基本关系 【例3】?已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围． [审题视点] 若B?A，则B＝?或B≠?，故分两种情况讨论． 解 当B＝?时，有m＋1≥2m－1，得m≤2， ?m＋1≥－2， 当B≠?时，有?2m－1≤7， ?m＋1＜2m－1， 综上：m≤4. 解得2＜m≤4. 已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的 关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论． 【训练3】 (2011·江苏)设集合 ???m A＝??x，y??2≤?x－2?2＋y2≤m2， ??? ?? x，y∈R?，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠?，则实数m ?? 的取值范围是________． 解析 ①若m<0，则符合题的条件是：直线x＋y＝2m＋1与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，从而 |2－2m－1|2－22＋2 ≤|m|，解得2≤m≤2，与m<0矛盾； 2 ②若m＝0，代入验证，可知不符合题意； m1 ③若m>0，则当2≤m2，即m≥2时，集合A表示一个环形区域，集合B表示一个带形区域，从而当直线x＋y＝2m＋1与x＋y＝2m中至少有一条与圆(x－2)2＋|2－2m||2－2m－1|2－2 y＝m有交点，即符合题意，从而有≤|m|或≤|m|，解得2 22 2 2