21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． （1）当x?0时，t?0； ??????（2分）
2当0?x?24时，因为x?1?2x?0，所以0?x1?， ????????（4分） x2?12?1?． ??????????????（5分） ?2??x?1??1?（2）当a??0,?时，由（1），令t?2，则t??0,?， ????（1分）
x?1?2??2?3?3a?t?,0?t?a,3??4所以f(x)?g(t)?|t?a|?2a??? ??????（3分）
4?31t?a?,a?t?,?42??1?于是，g(t)在t??0,a?时是关于t的减函数，在t??a,?时是增函数，
?2?351?1??1?因为g(0)?3a?，g???a?，由g(0)?g???2a?，
442?2??2?15?1?所以，当0?a?时，M(a)?g???a?；
44?2?113当?a?时，M(a)?g(0)?3a?， 42451?a?,0?a?,??44即M(a)?? ????????????（6分）
311?3a?,?a?.?442?5由M(a)?2，解得0?a?． ????????????（8分）
12?5?所以，当a??0,?时，综合污染指数不超标． ??????????（9分）
?12?即t的取值范围是?0,
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
（1）已知，c?1，a?2c?2， ????????（2分） 所以b?a?c?3， ??????????????（3分）
222x2y2??1． ????????（4分） 所以椭圆的标准方程为43（2）F1(?1,0)，F2(1,0)，设M(x,y)，则MF2?(1?x,?y)，1?(?1?x,?y)，MF22?2?x?2）， ????????（2分） MF1?MF2?x?y?1（
?x2?12x2y2222??1，所以，MF1?MF2?x?y?1?x?3?因为 ?1?4???4x?2，?（4分）43??223由0?x?4，得MF 1?MF2的最大值为，最小值为． ??????????（6分）
6
（3）假设存在点B(m,0)，设P(x,y)，P到B的距离与P到直线x?4的距离之比为定
(x?m)2?y2??， ??????????????????（1分） 值?，则有
|x?4|整理得x2?y2?2mx?m2??2(x?4)2， ??????????????（2分）
x2y2?1???1，得???2?x2?(8?2?2m)x?m2?3?16?2?0对任意的x?[?2,2]都由43?4?成立． ????????????????????????（3分）
?1???2?x2?(8?2?2m)x?m2?3?16?2， ?4?22则由F(0)?0得m?3??6??0 ①
22由F(2)?0得m?4m?4?4??0 ②
令F(x)??由F(?2)?0，得m?4m?4?36??0 ③
221
，m?1． ??????????（5分） 2
所以，存在满足条件的点B，B的坐标为(1,0)． ?????????（6分）
由①②③解得得??
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
（1）因为m?1，故f(x)?x2?1， ????????????（1分） 因为a1?0，所以a2?f(a1)?f(0)?1，????（2分）
a3?f(a2)?f(1)?2， ????（3分） a4?f(a3)?f(2)?5． ????（4分）
（2）解法一：假设存在实数m，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．
则得到a2?f(0)?m，a3?f(m)?m?m，a4?f?a3??m?m22??2 ?m．?（2分）
因为a2，a3，a4成等差数列，所以2a3?a2?a4， ????3分 所以，2m?m?m?m?m?2??2?2?m，化简得m2m2?2m?1?0，
??解得m?0（舍）,m??1?2． ?????????????（5分）
经检验，此时a2,a3,a4的公差不为0，
所以存在m?1?2，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列． ????（6分） 方法二：因为a2，a3，a4成等差数列，所以a3?a2?a4?a3，
22即a2?m?a2?a3?m?a3， ????????????????（2分）
所以a3?a2??a3?a2??0，即?a3?a2??a3?a2?1??0．
22??因为公差d?0，故a3?a2?0，所以a3?a2?1?0解得m??1?2． ???（5分） 经检验，此时a2，a3，a4的公差不为0． 所以存在m??1?
2，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列． ????（6分）
7
1??1?1??m?an??an????m???m?, ????（2分）
2??4?4?11又 m?, 所以令t?m??0 ??????????（3分）
44由an?an?1?t，an?1?an?2?t，??，a2?a1?t，
将上述不等式全部相加得an?a1?(n?1)t，即an?(n?1)t， ???????（5分） 因此要使ak?2015成立，只需(k?1)t?2015，
2015201512（3）因为an?1?an?an2所以，只要取正整数k?t?，就有ak?(k?1)t?综上，当m?1*4时，总能找到k?N，使得ak?2015．
8
t?t?2015．