内点最优潮流算法自动微分的有效执行技术
摘要：本文提出了一种改进的内点矩形最优潮流（OPF)算法的自动微分（AD）技术执行过程。有别于现有的AD技术执行过程，该执行过程增加了一个识别由AD技术生成的所有定常一阶和二阶导数的子程序，并在迭代前生成一个定常导数列表。在内点OPF算法的每次迭代工程中，只通过AD工具更新变化的导数。ADC这一优秀的软件作为AD的一个基本工具，完成上述执行工程。AD技术结合用户自定义模型界面，增强了计算性能和灵活性。大规模的电力系统算例研究表明，该算法在保持代码可维护性、灵活性的同时,计算速度接近手动编程。这篇文章证明，AD技术具有应用于电力系统在线运行环境的潜力，可取代传统手动编程求导，大大减轻软件开发人员的负担。 关键字：ADC，自动微分，内点法，操作符重载，最优潮流 1.引言
近年来，内点法（IPM)凭借其出色的计算性能和鲁棒性，已经被广泛应用于求解大规模电力系统最优潮流（OPF）问题。在内点法OPF中,计算目标函数与约束条件的梯度，雅可比(J acobian) 矩阵和海森( Hessian) 矩阵是很重要的部分。为了获得上述矩阵,开发者不得不手动推导一阶和二阶导数计算公式并手动编程。这种手动编程方式具有以下缺点: ①推导导数计算公式过于繁琐且易于出错; ②将上述公式手动编程并调试工作量大且容易出错; ③ 当加入新设备或复杂装置(如柔性交流输电系统( FACTS) 和高压直流( HVDC) 装置)
时 ，增减或修改约束条件、改变目标函数时会很繁琐。
自动微分(AD) 技术的使用克服了手动编程的缺点,与其他微分方法(如数值差分、符号微分) 相比,AD 避免了截断误差,对中央处理器(CPU) 时间和内存空间的占用都远小于上述方法。文献5中在电力系统动态仿真中采用AD计算jacobian矩阵。文献6-8采用AD算法计算电力系统潮流。文献9在计算电力系连续潮流jacobian矩阵和灵敏度时采用AD。文献10在基于MINOS ( modular in2core nonlinear optimization system) 的OPF 算法中采用AD 计算jacobian 矩阵。在电力系统中多数AD工具都是基于源代码转换的自动微分工具ADIFOR（具有稀疏性的源代码转换工具）。基于AD 的OPF 有下述优点: ①灵活性:AD 可轻易实现不同目标函数、模型、约束间的转换或修改; ②可维护性:易于拓展、修改或重复利用已有代码。减轻了开发者的编程负担,同时方便了用户自定义模型的实现。但在OPF 中使用AD的最大问题在于处理大规模系统时表现出的低效性。文献【10】指出在计算大规模系统时,基于AD和MINOS 的OPF 的计算时间是手动编程的5 倍～10 倍。
为了提高基于AD 技术的内点法OPF 算法的计算速度,同时保持程序的灵活性和可维护性,缩短程序开发周期,本文提出了一种新的改进算法。与已有的基于AD 的算法相比,主要有以下几点改进: 1) 用基于C语音操作符重载的AD 替代在文献中应用较多的基于源代码转换的AD。基于操作符重载的AD 保持了代码的整洁,具有更高的灵活性。
2) 用AD 计算Jacobian 矩阵和Hessian 矩阵。到目前为止, 在电力系统中AD 仅被用于计算Jacobian矩阵,而在本文中2 阶导数和Hessian 矩阵也使用AD计算。
3)AD使得内点法最优潮流算法速度大幅提高,得以接近手动编程。 4）当加入用户自定义模型时，用AD计算新模型的导数更高效方便。
2内点法OPF
OPF的问题可以用一个标准的非线性规划的数学模型来表述:
? minf?x? (1)x??subject to ?h?x??0 (2)
?g?g?x??g (3)u??l在（1）中，f?x?是目标函数; h?x??0是等式约束主要包括潮流方程;
g?x? 为不等式约束,主要包括节点电压约束和线路潮流约束等。变量
x包括状态变量还和控制变量。
在内点法中，首先要建立等式约束的拉格朗日方程
Lg?f?x??yh?x??z??g?x??l?gl???w??g?x??u?gu?????lnli???lnui
TTTi?1i?1rry,z和w为等式约束和不等式约束的拉格朗日乘数, li和ui是松弛变
量，?是障碍参数。库恩-塔克（KKT）条件为：
?Lx?Jf?Jhy?Jg?z?w??0??Ly?h?x??0??Lz?g?x??l?gl?0? (2) L?gx?u?g?0??u?w?Ll?LZE??E?0???Lu?UWE??E?0L?diag?l1,l2,...lr?,U?diag?u1,u2,...ur?,W?diag?w1,w2,...wr?,Z?diag?z1,z2,...zr?,E??1,1,...1?
TJf，Jh和Jg分别为f?x?，h?x?和g?x?的雅可比矩阵。
用简化的牛顿法处理非线性方程（2），我们可以得到以下三个等式：
?H?JT?hJh???x??L'x???y????L? (4) 0??????y??'?LZ???z???Ll??0I???l???L?JT?x? (5)
??????g?z???L'u?UW???w????0I???u???L?JT?x? (6) ?w??????g??1'?1'?L'x?Lx?Jg?LL?ZL?UL???lzu?WLw??， ??1?1H??Hf?Hh?Hg?Jg??LZ?UW??Jg，
L'l?LZE??E??z?l，L'u?UWE??E??w?u；
Hf，Hh和Hg分别为f?x?，yTh?x?和cTg?x?的海森矩阵，这里c?z?w.
内点法的主要步骤如下： 1） 2）
初始化：给定初值，计算导纳矩阵Y?G?jB.
计算目标函数，等式约束和不等式约束的雅可比和海森矩阵：
Jf,Jh,Jg,Hf,Hh和Hg。
3） 用预测校正器计算线性系统（3）-（5）。如果收敛则停止；否
则返回2）步。
观察以上流程，我们可以得出以下结论
1) 对于不同的目标函数，控制变量和约束条件，程序第三步是固定的模块。
2) 当目标函数，控制变量和约束条件变动是程序第二步也必须改变。所以为了适应不同的应用环境，AD技术用步骤二实现灵活性和维护性。AD工具替代手动编程计算Jf,Jh,Jg,Hf,Hh和Hg。
3 AD技术
A．
基本原理
AD 技术利用函数的计算代码自动获取该函数的导数值,其数学基础是求导运算时采用的链式法则。由于所有解析函数都可被分解成一系列初等运算的组合,因此,应用链式法则可对每一次初等运算求导,最终推导出所期望的函数导数值。
AD 有2 种工作模式: 前向模式和反向模式。前向模式直接利用链式法则。以函数（6）为例：
y=f?x1,x2,x3???x1x2sinx3?ex1x2?/x3 (6)
计算图如fig.1，x4 ～x9是中间变量，令x9等于y.
前向模式直接利用链式法则,在计算图中由下向上计算,即就所有因