(1)?k11?(1)?k21?0?(1)k整体刚度矩阵：?K???41?k(1)?51?0?0???0(1)k12(1)(2)k22?k22(2)k32(1)k42(1)(2)k52?k52(2)k620(2)k23(2)k33(1)k14(1)k24(1)k15(1)(2)k25?k25(2)k35(1)k45(1)(2)(3)(4)k55?k55?k55?k55(2)(4)k65?k65(3)k75(3)(4)k85?k850(2)k26(2)k360000(3)k570(1)k44(1)k540(2)k53(2)k630(2)(4)k56?k56(2)(4)k66?k660000(3)k77(3)k8700000(4)k86??0??0?0? (3)(4)?k58?k58?(4)k68?(3)?k78?(3)(4)k88?k88??0
①①
12 图5中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元①按局部编码i,j,m的单元刚度矩阵K和应力矩阵S是
K(1)?6?26??80?6??16?6?126?4??030??00－3?13.59?7.5?3?(1)??0－30－1? ???S??0413.5?3?1.5??对?20?1.5-1.5-0.51.5????9.5?3?????称5.5??
②②
按图5示单元②的局部编码写出K，S。 解：由图可知m(1)?i(2),i(1)?j(2),j(1)?m(2)
?9.5?3?2?6?7.5?3???5.564?3?1.5???80?6?6????
对16?6?12???13.59????称13.5????Kii?则由???KijKjjKim??Kjj?Kjm????Kmm????KjmKmmKij?(2)Kmi?得到K?Kii??S(2)000-30??3????0-1040-3? ?-0.51.520-1.5-1.5???ya13如图6所示8结点矩形单元(每边中点为结点), 3点为坐标原点，a=b=2，单元厚为t。
①求该单元的位移函数和形函数和并检验其是否满足收敛性条件。 ②求在2-6-3边作用均布水平荷载q时的等效结点荷载。 解：(1)位移函数：
251?u??1??2x??3y??4x2??5xy??6y2??7x2y??8xy2 ?2222v????x??y??x??xy??y??xy??xy910111213141516?引入无量纲的局部坐标??
374bq68xxy,?? ab6
x1?x3y?y,y2?13 2211故?1?0,?2?,?3?1,?1?0,?2?,?3?1
221111l1?2(??)(??1),l2??4?(??1),l3?2?(??),p1?2(??)(??1),p2??4?(??1),p3?2?(??)
2222则n?3,x2?则n?2时，?1?0,?2?1,?1?0,?2?1
l1?1??,l2??,p1?1??,p2??
则角节点的形函数为
1111N1?4??(??)(??),N2?4?(??)(??)(??1)
22221111N3?4(??)(??1)(??)(??1),N4?4?(??)(??)(??1)
2222边中节点的形函数为
N5??4??(??1),N6??4?(??1)(1??),N7??4?(??1)(1??),N8??4??(??1)
证明收敛性：
位移函数中
?u??1??2x??3y??4x2??5xy??6y2??7x2y??8xy2 ?2222?v??9??10x??11y??12x??13xy??14y??15xy??16xy?1,?9表示刚体位移，?2,?3和?9,?10表示常应变，故位移函数具有完备性
设相邻单元公共边界上的直线方程是y?b（或x?a），代入位移函数中
?u??1??3b??6b2?(?2??5b??8b2)x?(?4??7b)x2 ?222?v??9??11b??14b?(?10??13b)??16bx?(?12??15b)x为x（或y）的2次函数，而边界上三点确定的位移函数为也为二次曲线，故单元在公共边界连续，
故位移函数收敛
6，3号节点有关 (2)荷载作用在2?3边上，故等效节点力只与2，1111N2?4?(??)(??)(??1)，N6??4?(??1)(1??)，N3?4(??)(??1)(??)(??1)
2222在??0边上计算
?Ni ???N?N?N2?4??1,6?4(1?2?),3?4??3 ???????Nb?N6?N?x?y?x?y?0,?03??b2?2 ds?()2?()2d??2d? ??????2????????1P3x?t?N3qxds?2qt?N3d??s0qt 37
4P6x?t?N6qxds?2qt?N6d??qt
3s011P2x?t?N2qxds?2qt?N2d??s0qt 3第四章
1经典梁理论和Timoshenko梁理论有哪些相同点和哪些不同点?基于以上两种理论的梁单元各有何特性？ 解：
相同点 经典梁理论 Kirchhoff假设 Timoshenko梁理论 C1型单元 不同点 弯曲梁单元 截面转动?是挠度w的一阶导数，只有挠度w是独立的 采用Hermite插值 特性
2 写出杆件的应变能计算公式，并给出推导过程。
解：将只考虑轴向变形的杆件划分成n个单元，节点坐标为x0,x1,?,xi,xi?1,?,xn 单元的位移函数u(x)??1??2x （xi?1?x?xi）
用形函数近似位移函数得u(x)?Nie?1(x)ui?1?Nieui，其中Ni?1(x)?eC0型单元 考虑剪切变形影响 挠度w和截面转动?各自独立插值 采用拉格朗日插值 梁很薄时，会造成剪切锁死现象 梁的高度远小于跨度 x?xix?xi?1 ,Nie(x)?xi?1?xixi?xi?1单元的应变??du1?[?11]?uie??[B]?uie? dxxi?xi?1e单元的应力??E??E[B]ui
??1单元应变能U?2xi?1xi?1?xi1eTi?1T1eTTe??Adx??ui?(?[B]EA[B]dx)?ui???ui??Kie?uie? ???22xiEAxi?1?xi?1?1???11? ??x其中??K???eiT[B]?EA[B]dx?xi3在杆系系统中,除了采用凝聚自由度的方法实现铰接端条件， 还有什么方法可以实现以上条件，并比较这几种方
法的优缺点。 解：
凝聚自由度法
优点 8
缺点 多点约束方程 过渡单元法 4利用最小势能原理，推导图1所示弹性基础上梁单元方程，其中该梁的势能为：
?p??L02LkfvL12EI(v\dx??dx??wvdx
0022w(x) L x k f 图1
解：根据最小势能原理可知??p?0
lll故有??p?(EIv'')?v''dx?kfv?vdx?w?vdx?0
000lll???对第一项分部积分(EIv'')?v''dx?(EIv'')?v'0?(EIv'')'?v'?(EIv'')?v'0?(EIv'')'?v0?(EIv'')''?v 000l?l?ll?则[(EIv'')''?kfv?w]?vdx?(EIv'')?v'0?(EIv'')'?v0?0 0?ll引入强制边界条件和自然边界条件使(EIv'')?v'0?(EIv'')'?v0?0 由于?v的任意性故控制微分方程为(EIv'')''?kfv?w?0
此梁的位移函数v(x)?N1(x)v1?N2(x)?1?N3(x)v3?N4(x)?4?[N]?d?，则?v??[N]??d?
heeeell由于物理关系可知v''(x)??B??d?则??v''??[B]??d?
lll由(EIv'')?v''dx?kfv?vdx?w?vdx?0得
000xi?1xi?1xi?1???e???d??(?[B]EI[B]dx)?d?????d??(?[N]k[N]dx)?d?????d??(?[N]wdx)eTTeTTeeTTfxixixixi?1xi?1(?[B]TEI[B]dx?xiT?[N]kf[N]dx)?d??xiexi?1
?[N]xiTwdx则梁单元刚度方程为?k?
e?d?e??F?
9
e其中?k??EIexi?1?[B][B]dx?k?[N][N]dx ?F?TTfxixixi?1exi?1??[N]xiTwdx
5 图2所示刚架
1) 如何进行节点编号使整体刚度矩阵[K]的带宽最小？
2) 刚架的整体刚度矩阵中a节点的总刚度矩阵Kaa和的总刚度矩阵Kbc各由哪些单元的哪些分块矩阵叠加组成
（自行确定单元局部坐标方向）
3) 试按照二维等带宽存储和一维变带宽存储方式确定Kaa中对角元素的在相应存储数组中的位置。
图2 有铰点的刚架
解：1）考虑每个节点有两个自由度
由于半带宽d=（相邻结点码的最大差值+1）*2
故节点编号如图所示可使单元内节点编码相差3，使得带宽d=8
(2)(3)(4)(5)(6)2）Kaa?K22 Kbc?K12 ?K22?K11?K113）考虑单元①节点1自由度的凝聚
可知Kaa中对角线元素在原整体刚度矩阵中第6行第7列和第7行第8列 则用二维等带宽存储后在矩阵中的第6行第2列和第7行第2列
用一维变带宽存储后在Kaa中对角线元素在数组中的位置为9和10
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