式方次的要求，而不包括更高次的非完全多项式的要求，在一定情况下改善了单元的精度。
（2）在最小位能原理基础上建立的位移有限元，位移解具有下限性质。有限元的计算模型具有较实际结构偏大的整体刚度。选取减缩积分方案使有限元计算模型的刚度有所降低，有助于提高计算精度。 （3）采用减缩积分可能使系统刚度矩阵K奇异，出现有别于刚体运动的位移零能模式。
5 如需要对二维三次Serendipity单元进行精确积分，试讨论所需的Gauss积分的阶次（假定J为常数）。 解：插值函数N中的多项式阶数为4，微分算子L中的导数的阶次是1
被积函数是非完全次项的最高次为6次多项式，完全项的最高次为4次多项式
6?1?3.5故积分点数目为4?4 2若为减缩积分，需要高斯积分点n?4?1?1?3故积分点数目为3?3
若为精确积分，需要高斯积分点n?
6 求图1所示单元的节点等效荷载；
图1
解：N1?(1??)(1??),N4??(1??) 在??0上
?N1?N??1,4?1 ????则
?N?N?N?N?x?y?01?34?3,?01?44?4 ????????????ds?(?x2?y2)?()d??5d? ?????qx???ds ?qy?T0??e?q???? ?P????N?500(1??)??s12P1y??N1qyds?2500?(1??)d??s02500 32500 61P4y??N4qyds?2500??(1??)d??s0
7如图2所示12节点正方形单元，求其Jacobi行列式J;
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图2
解：求形函数：
（1） 构造角节点形函数：
??1(2??)(2??),N??1?(2??),N??1??,N??1?(2??) N12344444（2） 构造边节点的形函数：
N5??(??b)(??2)(2??)2a(a?b)(a?2),N6??(??a)(??2)(2??)2b(b?a)(b?2)，N11?，N9???(??b)(??2)2a(a?b)(a?2),N10???(??a)(??2)2b(b?a)(b?2)
N7???(??b)(??2)2a(a?b)(a?2),N8???(??a)(??2)2b(b?a)(b?2)?(??b)(??2)(2??)2a(a?b)(a?2),N12??(??a)(??2)(2??)2b(b?a)(b?2)
（3） 修正角节点形函数：
??1(2?a)2(N?N)?1(2?b)2(N?N)N1?N151061144
1?(??b)(??2)(2??)??(??a)(??2)?(1??)(1??)?(2?a)2[?]42a(a?b)(a?2)2b(b?a)(b?2)8试构造如图3所示的6结点斜三棱柱体等参单元的插值函数，并证明其合理性。
图3
解：对图中6结点斜三棱柱体进行等参变换
N1?L11??11??11L1(??1),N2?L2?L2(??1),N3?L3?L3(??1)
1?121?121?12??11??11??11N4?L1?L1(1??),N2?L2?L2(1??),N3?L3?L3(1??)
?1?12?1?12?1?12???1
9空间八结点等参数单元各边与坐标轴x,y,z平行，在y方向作用有线性变化体力，若用高斯积分法分析结点荷载
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?R?e???1??1??1?N?T?p??J?d?d?d?的精确值，试求所需要的最少积分点数。
解：空间八结点等参单元中形函数的阶次为1，且y方向作用有阶次为1的线性变化体力，由于单元各边与坐标轴x,y,z平行，故J为常数，故被积函数的阶次为2
精确积分所需要高斯积分点n?111P?12?1??1.5，积分点数为2?2?2 22第七章
1 采用矩形薄板单元计算薄壳问题时，其单刚方程有何特点？
解：采用矩形薄板单元计算薄壳时，为了简单计算，平板的面内变形与弯曲变形可认为是互不影响的，即板内变形和受力可看成是平面应力和平板弯曲两状态的迭加，结点未知数为u,v,w,?x,?y,?z 单刚方程?F???k????中???e??p??Fp?e??b?，?F???b? ????F?eeee?W??w?ee?M????uU????????x?xpbpb其中??????,??????，?F????,?F????
M?vV?????y???y?????z???M?z??特点：（1）基于（克希霍夫假设）中面无伸缩假设，可知u,v与w,?x,?y,?z无关。
（2）由于平行于中面的各层相互不挤压，不拉伸，沿z方向不会引起翘曲，故U,V与W,M?x,M?y,M?z无关 （3）?z对结点力不起作用，但为了计算不共面的相邻单元的弯扭应力，必须考虑。 （4）?z和M?z对应的刚度系数设定为零。 2设薄板矩形单元，节点的位移未知数为：??i????wi若位移模式取
?xi?yi?xyi??
w(x,y)??1??2x??3y??4x2??5xy??6y2??7x3??8xy2??9x2y??10y3??11x3y??12xy3??13x2y2??14xy??15xy??16xy解：位移函数：
233233
试判断该位移模式是否收敛？
w(x,y)??1??2x??3y??4x2??5xy??6y2??7x3??8xy2??9x2y??10y3??11x3y??12xy3??13x2y2??14xy??15xy??16xy233233
?x??w??3??5x?2?6y?2?8xy??9x2?3?10y2??11x3?3?12xy2?2?13x2y?3?14x2y2?2?15x3y?3?16x3y2?y?w??(?2?2?4x??5y?3?7x2??8y2?2?9xy?3?11x2y??12y3?2?13xy2?2?14xy3?3?15x2y2?3?16x2y3)?x?y?? 18
?2w?xy???5?2?8y?2?9x?3?11x2?3?12y2?4?13xy?6?14xy2?6?15x2y?9?16x2y2
?x?y完备性：挠度位移曲线中?1??2x??3y代表薄板的刚体位移，其中?1代表薄板在z方向的移动，?2和?3分别代表薄板单元绕y轴和x轴的刚体转动。
?4x2??5xy??6y2代表薄板弯曲的常应变（常曲率和常扭率）
??2w?2w?2w?T??2?,?2?,?2? ??????2,?2,?2???465?x?y?x?y??则挠度位移曲线w(x,y)满足完备性要求
连续性：当x=常数(或y=常数)的边界上，挠度位移曲线w(x,y)是三次变化的曲线，可由两端节点的挠度值和转角值可唯一确定，故在单元交界面上w(x,y)是连续的。?x和?y也分别是x和y的三次曲线，由两端节点的转角和扭率可唯一确定，则?xy也可唯一确定，故转角位移函数连续。 所以，该位移模式收敛。
3 论证矩形4节点12自由度薄板单元是完备的非协调单元。
解：由于薄板弯曲变形时，可由中面的挠度w(x,y)表示，故4节点12自由度薄板单元的位移函数
Tw(x,y)??1??2x??3y??4x2??5xy??6y2??7x3??8x2y??9xy2??10y3??11x3y??12xy3
?x??w??3??5x?2?6y??8x2?2?9xy?3?10y2??11x3?3?12xy2 ?y?w??(?2?2?4x??5y?3?7x2?2?8xy??9y2?3?11x2y??12y3) ?x?y??完备性：挠度位移曲线中?1??2x??3y代表薄板的刚体位移，其中?1代表薄板在z方向的移动，?2和?3分别代表薄板单元绕y轴和x轴的刚体转动。
?4x2??5xy??6y2代表薄板弯曲的常应变（常曲率和常扭率）
??2w?2w?2w?T??2?,?2?,?2? ??????2,?2,?2???465?x?y?x?y??则挠度位移曲线w(x,y)满足完备性要求
连续性：当x=常数或y=常数的边界上，挠度位移曲线w(x,y)是三次变化的曲线，可由两端节点的挠度值和转角值唯一确定，故在单元交界面上w(x,y)是连续的。?x和?y分别是x和y的三次曲线，但是由两端节点的转角不能唯一确定，故转角位移函数不连续。 所以，薄板矩形单元是非协调单元。
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T??164. 四边固定的正方形薄板，边长为4m，板厚为0.1m，弹性模量E为常量，。在板中心还联结有4根弹性
杆件支承，杆长均为4m，所有杆与地面的夹角都为45,弹性模量也为E，截面积为0.04m。图4(1)为结构示意图，其中A-A,B-B 剖面见图4(2)，当板上受均匀分布荷载q0作用时，试求单元○1中点1的挠度（见图4(1)）
o
2
图4(1) 图4 (2) A-A 、B-B剖面
解：分析单元①，a?b?（1） 等效节点荷载:
l?1 4111??R??4q0??12?412e11141212111?41212T111???? 41212?T（2） 引入边界条件后
???e??w100000000000?
（3） 考虑弹性支承杆的刚度
4?EA0.04E2cos45??4???0.00707E 4l4?42（4） 在单刚方程中引入边界条件，并叠加弹性支承杆的刚度
Et3EA[(81?6?)?4?cos45?]w1?q0 360(1??2)4l代入数据得w1?137.013
q0 E 20