解：①求两个多项式的卷积。 在MATLAB命令窗口中输入： >> p=[1 2 3 4]; >> q=[10 20 30]; >> c=conv(p,q) c =
10 40 100 160 170 120 ②用多项式解卷验证 >> [s,r]=deconv(c,p) s =
10 20 30 r =
0 0 0 0 0 0
说明：①s是向量c除以向量p所得的结果，r为余数。 ②函数conv( )与deconv( )互为逆运算。
③建立控制系统的传递函数模型时，会经常使用函数conv( )。 （5）分式多项式的部分分式展开
应用时域分析法分析控制系统动态性能时，常常需要求出系统在典型输入信号作用下的时间响应c(t)，为此，必须首先求出c(t)的象函数C(s)，并将其展开成部分分式。利用函数residue( )。
例：已知控制系统的输出象函数C(s)?解：>> num=[2 8]; >> den=[1 5 6 0];
>> [z,p,k]=residue(num,den) z =
0.6667 -2.0000 1.3333 p =
-3.0000 -2.0000 0 k = []
（6）多项式曲线拟合
进行系统设计与仿真时，常常需要用曲线拟合方法。曲线拟合就是要寻找一条光滑曲线，使其在某种准则下能最佳地拟合已知数据。使用函数polyfit( )对已知数据进行曲线拟合。拟合方法采用最小二乘法（即最小误差平方和准则）。
例：曲线拟合实例。
解：>> x=0:0.1:1; %生成用行向量表示的自变量数据 >> y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; >> p=polyfit(x,y,2) %计算二阶拟合多项式系数 p =
-9.8108 20.1293 -0.0317
2(s?4)，将其展开为部分分式。 2s(s?5s?6)第 16 页/共 63页
2.4 符号运算
一、符号对象的创建和使用
进行符号运算时，首先要创建基本的符号对象，它可以是常数、变量和表达式。然后利用这些基本符号对象构成新的表达式，进而完成所需的符号运算。
符号对象的创建使用函数sym( )和syms( )来完成，他们的调用格式如下：
S=sym(A) 将数值A转换成符号对象S，A是数字（值）或数值矩阵或数值表达式 S=sym(‘x’) 将字符串x转换成符号对象S
S=sym(A,flag) 将数值A转换成flag格式的符号对象
syms arg1 arg2 ? arg1=sym(‘arg1’)，arg2=sym(‘arg2’)，?的简洁形式 例：创建符号变量和符号表达式演示。
解：>> y=sym('x') %定义变量y,它代表字符x y = x
>> f=sym('x^3+x^2+4*x+4') %定义变量f，它代表符号表达式x3?x2?4x?4 f =
x^3+x^2+4*x+4
例：字符表达式转换为符号变量演示。
解：>> y=sym('2*sin(x)*cos(x)') %将字符表达式转换为符号变量 y =
2*sin(x)*cos(x)
>> y=simple(y) %将已有的y符号表达式化成最简形式 y = sin(2*x)
二、符号运算中的运算符号和基本函数 例：基本运算符号与基本函数应用演示。 解：>> syms x; %定义符号变量x >> f1=x^3+x^2+4*x+4; %生成多项式f1 >> f2=x^2+4*x+10; %生成多项式f2 >> f=f1+f2 %求f1与f2之和 f =
x^3+2*x^2+8*x+14
>> y=sqrt(x^5) %求函数的平方根 y =
(x^5)^(1/2)
>> z=log10(x) %求以10为底的对数 z =
log(x)/log(10)
例：矩阵代数运算演示。求矩阵A=??a11 a12??a?的行列式值、逆和特征值。21 a
22?解：>> syms a11 a12 a21 a22; %定义符号变量a11,a12,a21,a22
>> A=[a11,a12;a21,a22] %生成矩阵A A =
[ a11, a12]
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[ a21, a22]
>> DA=det(A) %求矩阵A的行列式 DA =
a11*a22-a12*a21
>> IA=inv(A) %求矩阵A的逆矩阵 IA =
[ a22/(a11*a22-a12*a21), -a12/(a11*a22-a12*a21)] [ -a21/(a11*a22-a12*a21), a11/(a11*a22-a12*a21)]
>> EA=eig(A) %求矩阵A的特征值 EA =
1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2) 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2) 三、符号表达式的操作 调用格式 collect(E,v) expand(E) factor(E) horner(E) 功能 同类项合并 表达式展开 因式分解 嵌套分局 说明 将符号表达式E中v的同幂项系数合并 对E进行多项式、三角函数、指数函数及对数函数等展开 对E（或正整数）进行因式（或因子）分解 将E分解成嵌套形式 将E通分，返回E通分后的分子N与分母D 运用多种恒等式变换对E进行综合简化 运用包括simplify在内的各种简化算法，把E转换成最简短形式 [N,D]=numden(E) 表达式通分 simplify(E) 表达式化简 simple(E) subs(E,old,new) 符号变量替换 将E中的符号变量old替换为new，new可以是符号变量、符号 常量、双精度数值与数值数组（或矩阵）等 1、符号（包括符号变量、符号常量及数值数组）替换 例：已知数学表达式y?axn?bt?c，试对其进行以下的符号替换： （1）a=sint,b=lnz,c=de的符号变量替换； （2）n=3,c=π的符号常量替换； （3）c=1:2:5的数值数组替换； （4）c=?2t
?1 2??的数值矩阵替换。 3 4??解：>> syms a b c d e t n x y z;
>> y=a*x^n+b*t+c;
>> y1=subs(y,[a,b,c],[sin(t) log(z) d*exp(2*t)]) %符号变量替换 y1 =
sin(t)*x^n+log(z)*t+d*exp(2*t)
>> y2=subs(y,[n,c],[3 pi]) %符号常量替换 y2 =
a*x^3+b*t+pi
>> y3=subs(y,c,1:2:5) %符号数组替换 y3 =
[ a*x^n+b*t+1, a*x^n+b*t+3, a*x^n+b*t+5] >> y4=subs(y,c,[1 2;3 4]) %数值矩阵替换
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y4 =
[ a*x^n+b*t+1, a*x^n+b*t+2] [ a*x^n+b*t+3, a*x^n+b*t+4] 2、同类项合并
例：已知数学表达式y?(x2?xe?t?1)(x?e?t)，试对其同类项进行合并。 解：>> syms x t;
>> y=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');
>> y1=collect(y) %默认合并x同幂项系数 y1 =
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)
>> y2=collect(y,'exp(-t)') %合并exp(-t)同幂项系数 y2 =
x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x 3、因式分解
例：已知数学表达式y(x)?x4?5x3?5x2?5x?6，试对其进行因式分解。解：>> syms x;
>> y=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6; >> y1=factor(y) y1 =
(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)
4、表达式展开
例：已知数学表达式y(x)=cos(3arccosx)，试将其展开。 解：>> syms x;
>> y=cos(3*acos(x)); >> y1=expand(y) y1 =
4*x^3-3*x
5、表达式简化
例：已知数学表达式y(x)?2cos2x?sin2x，试对其进行简化。 解：>> syms x;
>> y=2*cos(x)^2-sin(x)^2; >> y1=simplify(y) y1 =
3*cos(x)^2-1 6、表达式通分
例：已知数学表达式y(x)?x?3x?x(x?1)?1x2(x?2)，试对其进行通分。
解：>> syms x;
>> y=((x+3)/(x*(x+1)))+((x-1)/(x^2*(x+2))); >> [n,d]=numden(y) n =
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x^3+6*x^2+6*x-1 d =
x^2*(x+1)*(x+2) 四、符号积分变换
1、拉氏变换及其反变换
设f(t)是一个以时间t为自变量的函数，它的定义域是t>0，并设|f(t)|≤ke（a为正数），则对所有实部大于a的复数，积分
at??0f(t)edt绝对收敛。f(t)的拉氏变换F(s)定义为F(s)=
?st??0f(t)e?stdt。
F(s)称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。s=ζ+jω为复变量，称其为拉氏变换算子。从f(t)求取F(s)的过程称为拉氏正变换。
在MATLAB中，分别使用函数laplace( )与ilaplace( )进行拉氏变换与反变换。 （1）函数laplace( )
功能：求取函数的拉氏变换。格式：F=laplace(f)。 例：求单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换。 解：>> f=sym(1); >> F=laplace(f) F = 1/s
例：求函数t，e及sinωt的拉氏变换。 解：>> syms a t w; >> F1=laplace(t^5) F1 = 120/s^6
>> F2=laplace(exp(a*t)) F2 = 1/(s-a)
>> F3=laplace(sin(w*t)) F3 =
w/(s^2+w^2)
（2）函数ilaplace( )
功能：求取函数的拉氏反变换。格式：f=ilaplace(F) 例：求象函数F(s)=1?5atab?的拉氏反变换。 2s?1(s?2)解：>> syms a b s;
>> F=1+a/(s+1)+b/(s+2)^2; >> f=ilaplace(F) f =
dirac(t)+a*exp(-t)+b*t*exp(-2*t)
说明：dirac(t)表示单位脉冲函数δ(t)。即f(t)=δ(t)+ae+bte2、Z变换及Z反变换 （1）函数ztrans( )
?1
?2t。
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